|
|||||
| 1 | a. |
│2x + 6│ = 2x
+ 6 voor x > -3 en dan is
f '(x) = 2 │2x + 6│ = -2x - 6 voor x £ -3 en dan is f '(x) = -2 de limiet van f ' van de onderkant naar -3 is niet gelijk aan de limiet van f ' van de bovenkant naar -3, dus is de functie niet differentieerbaar in x = 3 |
|||
| b. | f(x) =
(x - 1)2/3 f '(x) = 2/3 · (x - 1)-1/3 Als x naar 1 gaat, dan gaat f ' naar ±∞ dus f ' heeft een verticale asymptoot, dus f is niet differentieerbaar in x = 1 |
||||
| c. | 12 + 4 = 5
en 2 · 1 + 3 = 5
dus de functie is wel continu voor x = 1 x > 1: f '(x) = 2x en f '(1) = 2 x < 1: f '(x) = 2 de functie is dus ook differentieerbaar in x = 2 |
||||
| d. | 23 +
1 = 9 en 3 · 22
= 12 de functie is dus niet continu in x = 2, dus kan ook niet differentieerbaar zijn. |
||||
| 2. | de functie moet
continu zijn voor x = 1, dus moet gelden a +
ln1 = b · 12
ofwel a = b de functie moet differentieerbaar zijn voor x = 1 dus moet gelden 1/x = 2bx ofwel 1/1 = 2b samen geeft dan a = b = 1/2. |
||||
| 3. | de voorwaarde voor
continuïteit in x = -3 is: a + b
· (-3)2 =
a · (-3)2
+ b ofwel a + 9b = 9a + b
dat geeft 8a = 8b dus a = b voor differentieerbaarheid moeten de afgeleides ook gelijk zijn: 2bx = 2ax geeft bij x = -3 weer a = b kortom: zolang geldt a = b is de functie differentieerbaar, en dat zijn oneindig veel mogelijkheden. |
||||
| 4. | continuïteit bij x
= 1: √(a + b)
= 1 - a afgeleides bij x = 1: a/2√(ax + b) = 2x en voor x = 1 geeft dat a/2√(a + b) = 2 ⇒ √(a + b) = 0,25a de tweede invullen in de eerste geeft 0,25a = 1 - a dus a = 0,8 dan geeft de eerste vergelijking √(0,8 + b) = 0,2 ⇒ b = -0,76 |
||||
| 5. | continuïteit bij x
= 4: √(25 - 16) = 4a +
b ⇒ 4a + b = 3 continuïteit bij x = -4: geeft dezelfde voorwaarde. afgeleides bij x = 4: -2x/2√(25 - x²) = a ⇒ -2x = a • 2√(25 - x²) ⇒ -8 = 6a ⇒ a = -4/3 afgeleides bij x = 4: -2x/2√(25 - x²) = -a ⇒ -2x = -a • 2√(25 - x²) ⇒ 8 = -6a ⇒ a = -4/3 a = -4/3 geeft dan 4 • -4/3 + b = 3 ⇒ b = 25/3 |
||||
| 6. | functiewaarden zijn
gelijk bij x = 0: a • 02 + 2 • 0 + b = a + sin(2b • 0) b = a afgeleides zijn gelijk bij x = 0: 2ax + 2 = 2b • cos2bx 2a • 0 + 2 = 2b • cos(2b • 0) 2 = 2b b = 1 dus is ook a = 1 |
||||
| 7. | a. | Als de functie
continu is dan moeten beide delen bij x = 1 dezelfde waarde
opleveren: 12 + 1 = (1 + lna)/1 2 = 1 + lna lna = 1 a = e |
|||
| b. | de afgeleides bij x = 1: van de onderkant: f ' = 2x = 2 • 1 = 2 van de bovenkant (met de quotiëntregel en de kettingregel): |
||||
 |
|||||
| als a = e is die afgeleide gelijk aan -1, en dat is niet gelijk aan 2, dus is de functie niet differentieerbaar. | |||||
| 8. | voor x <
0 geldt f(x) = 2 - √(2x
+ 4) (want dan is het positief) voor x > 0 geldt f(x) = -2 + √(2x + 4) beide functiewaarden geven 0 voor x = 0 dus de functie is wel continu in x = 0. dan de afgeleides: voor x < 0 is f '(x) = -2/2√(2x + 4) en dan is f '(0) = -1/2 voor x < 0 is f '(x) = 2/2√(2x + 4) en dan is f '(0) = 1/2 Dat is niet gelijk dus de functie is niet differentieerbaar in x = 0 |
||||
| 9. | a. | h is de
functie die eerst volgens g loopt, en bij het punt
x = p overstapt op f Als h continu is, dan moeten f en g dus bij dat overstappunt elkaar snijden. x3 - 4x = 2 - x x(x2 - 4) = (2 - x) x(x - 2)(x + 2) = -(x - 2) x- 2 = 0 ∨ x(x + 2) = -1 x = 2 ∨ x2 + 2x + 1 = 0 x = 2 ∨ (x + 1)2 = 0 x = 2 ∨ x = -1 Dus hp is continu voor p = -1 ∨ p = 2 |
|||
| b. | h is
differentieerbaar als in het overstappunt de hellingen van f en
g óók gelijk zijn. f '(2) = 4 en g '(2) = -1 f '(-1) = -1 en g '(-1) = -1 Dus hp is differentieerbaar voor p = -1 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||