© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 6x + 5y = 171
ggd(6, 5) = 1 en dat is een deler van 171
1 = 6 - 1 • 5
171 = 171 • 6 - 171 • 5
een oplossing is dus   x = 171  en y = -171
y wordt positief door er 29 • 6 bij op te tellen, dus dan moet van x  29 • 5 af.
dat geeft  x = 26,  y = 3
trek nu steeds 5 van x af en tel 6 bij y op om de andere oplossingen te krijgen:
x = 26,  y = 3
x = 21, y = 9
x = 16, y = 15
x = 11, y = 21
x = 6, y = 27
x = 1, y = 33
       
  b. 37x + 20y = 1209
ggd (37,20) = 1 en dat is een deler van 1209
37 = 1 • 20 + 17
20 = 1 • 17 + 3
17 = 5 • 3 + 2
3 = 1 • 2 + 1  dus GGD = 1
omdraaien:
1 = 3 - 1 • 2
1 = 3 - 1 • (17 - 5 • 3) = -1 • 17 + 6 • 3
1 = -1 • 17 + 6 • (20 - 1 • 17) = 6 • 20 - 7 • 17
1 = 6 • 20 - 7 • (37 - 1 • 20) = -7 • 37 + 13 • 20
vermenigvuldig alles met 1209:  1209 = -8463 • 37 + 15717 • 20
dus x = -8463  en  y = 15717 is één oplossing.
tel nu steeds 20 bij x op en trek even vaak 37 van y af om andere (positieve) oplossingen te krijgen:
x  = -8463 + 424 • 20 = 17  en  y = 15717 - 424 • 37 = 29
meer zijn er niet.....
       
  c. 87x - 64y = 3
87 = 1 • 64 + 23
64 = 2 • 23 + 18
23 = 1 • 18 + 5
18 = 3 • 5 + 3
5 = 1 • 3 + 2
3 = 1 • 2 + 1  dus GGD = 1
omdraaien:
1 = 3 - 1 • 2
1 = 3 - 1 • (5 - 1 • 3) = -1 • 5 + 2 • 3
1 = -1 • 5 + 2 • (18 - 3 • 5) = 2 • 18 - 7 • 5
1 = 2 • 18 - 7 • (23 - 1 • 18) = -7 • 23 + 9 • 18
1 = -7 • 23 + 9 • (64 - 2 • 23) = 9 • 74 - 25 • 23
1 = 9 • 64 - 25 • (87 - 1 • 64) = -25 • 87 + 34 • 64 = 87 • -25  - 64 • -34
vermenigvuldig alles met 3:    3 = 87 • -75  - 64 • -102
dus  x = -75  en  y = -102 is één oplossing.
trek nu een aantal keer -64 van x af, en tel even vaak 87 bij y op
x = -75 - 2 • -64 = 53  en   y = -102 + 2 • 87 = 72
x = 53 - - 64 = 117  en   y = 72 + 87 = 159
er zijn oneindig veel oplossingen.
Je kunt ze samenvatten als   x = 53 + k • 64  en  y = 72 + k • 87  met  k = 0, 1, 2, ...
       
2. Daarbij hoort de vergelijking  4x + 7y = 81
GGD(4, 7) = 1
7 = 1 • 4 + 3
4 = 1 • 3 + 1
omdraaien:
1 = 4 - 1 • 3
1 = 4 - 1 • (7 - 1 • 4) = -1 • 7 + 2 • 4
vermenigvuldig met 81:   162 • 4  - 81 • 7 = 81
trek van 162 een aantal keer 7 af, en tel even vaak bij -81 een aantal keer 4 op.
-81 + 21 • 4 = 3  en   162 - 21 • 7 = 15  dus  x = 15 en y = 3
3 + 4 = 7  en  15 - 7 = 8  dus  x = 8 en y = 7
7 + 4 = 11  en   8 - 1 = 1  dus  x = 1  en y = 11
Dat waren de drie mogelijkheden.
       
3. a. Laten we vanaf de laatste piraat terugredeneren.....

Stel dat die drie stapels van y kokosnoten maakt.
Dan vond hij dus  3y + 1  kokosnoten (eentje ging naar de aap)

Die 3y + 1 is wat de één na laatste piraat overliet.
Als die piraat x kokosnoten aantrof, dan  liet hij  2/3(x - 1) over
2/3(x - 1) = 3y + 1  betekent dat  x = 4,5y + 2,5
De tweede piraat begon met  4,5y + 2,5 kokosnoten, en dat was wat de eerste piraat overliet.

Als die eerste piraat met x kokosnoten begon, dan geldt dus alweer  2/3(x - 1) = 4,5y + 2,5
2/3x - 2/3 = 9/2y + 5/2
vermenigvuldig met 6:
4x - 4 = 27y + 15
4x - 27y = 19
x en y moeten gehele aantallen (kokosnoten) zijn.
       
  b. 27 = 6 • 4 + 3
4 = 1 • 3 + 1  dus  GGD(27, 4) = 1
omdraaien:
1 = 4 - 1 • 3
1 = 4 - 1 • (27 - 6 • 4) = -1 • 27 + 7 • 4
Dat geeft de vergelijking  4 • 7 - 27 • 1 = 1
vermenigvuldig met 19:   4 • 133 - 27 • 19 = 19
x = 133, y = 19
x steeds 27 kleiner maken(-27 bij optellen) en  y  4 kleiner.
133 - 19
106 - 15
79 - 11
52 - 7
25 - 3
en nou kan het niet kleiner.

We begonnen met 25 kokosnoten...
       
4. Stel x pennen en y kladblokken en z elastieken.

20 voorwerpen:  x + y + z = 20

100 euro:  5x + 7y + 2z = 100
maak van de eerste  z = 20 - x - y en vul dat in in de tweede;

5x + 7y + 2(20 - x - y) = 100
3x  + 5y = 60

5 = 1 • 3 + 2
3 = 1 • 2 + 1  dus  GGD = 1
omdraaien: 
1 = 3 - 1 • 2
1 = 3 - 1 • (5 - 1 • 3) = -1 • 5 + 2 • 3
Een oplossing is   1 = 3 • 2 - 5 • 1
vermenigvuldig met 60:    60 = 3 • 120 + 5 • -60

Maar nu moeten we x en y positief maken.
Tel bij y steeds 3 op  en trek van x steeds 5 af.

-60 + 20 • 3 = 0  en   120 - 20 • 5 = 20  dat zijn  20 pennen, 0 kladblokken en dus 0 elastieken.
0 + 3 = 3  en   20 - 5 = 15  dat zijn  15 pennen, 3 kladblokken en dus 2 elastieken.
3 + 3 = 6  en  15 - 5 = 10  dat zijn  10 pennen, 6 kladblokken en dus 4 elastieken.
6 + 3 = 9  en  10 - 5 = 5  dat zijn  5 pennen, 9 kladblokken en dus 6 elastieken.
9 + 3 = 12  en  5 - 5 = 0  dat zijn  0 pennen, 12 kladblokken en dus 8 elastieken. 

Er zijn kennelijk 5 manieren om zijn geld te besteden.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)