|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1. | a. | f(x) = x4 + 2x3
– 36x2 + 2 f ' = 4x3 + 6x2 – 72x f '' = 12x2 + 12x – 72 = 0 x2 + x – 6 = 0 (x – 2)(x + 3) = 0 x = 2 ∨ x = -3 In beide gevallen is er tekenwisseling bij f '' dus er is een buigpunt. dat geeft de buigpunten (2, -110) en (-3, -223) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| b. | f(x) = 2x√x
– 3x2 + 8x = 2x1,5
– 3x2 + 8x f ' = 3x0,5 – 6x f '' = 1,5x-0,5 – 6 = 0 1,5x-0,5 = 6 x-0,5 = 4 x = 1/16 er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt dat geeft buigpunt (1/16, 133/256) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| c. | f(x) = x2 • (1
–
√x) = x2
–
x2,5 f ' = 2x – 2,5x1,5 f '' = 2 – 3,75x0,5 = 0 2 = 3,75x0,5 x0,5 = 8/15 x = 64/225 er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt dat geeft buigpunt (64/225, 32768/759375) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| zoiets. De stippen komen overeen met de stippen op de tekenbeelden. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. | f(x) = 3x3
+ 9x2 + 2x + c f '(x) = 9x2 + 18x+ 2 f ''(x) = 18x + 18 Dat is nul als x = -1 Dus als de functie dan zelf ook nul is dan is het buigpunt gelijk aan het nulpunt. f(-1) = -3 + 9 - 2 + c = 0 c = -4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. |
x3
– 4x2 + 2x + 5 f ' = 3x2 – 8x + 2 f ' = 0 ⇒ (ABC) x = (8 ±√40)/6 = 4/3 ± 1/6√40 en daar midden tussenin ligt x = 4/3 De toppen zijn ongeveer (2.386, 0.583) en (0.279, 5.268) Daar midden tussenin ligt (4/3, 2.926) f '' = 6x – 8 dus een buigpunt bij x = 8/6 = 4/3 en dan is y = 2.926 Het buigpunt ligt inderdaad midden tussen beide toppen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6. | g(x) = x3
- 12x2 + 272 g '(x) = 3x2 - 24x g ''(x) = 6x - 24 Dat is nul als x = 4 en het buigpunt is (4, 144) f(x) = x2 + 64Öx = x2 + 64x0,5 f '(x) = 2x + 32x-0,5 f ''(x) = 2 - 16x-1,5 f ''(4) = 2 - 16 · 4-1,5 = 0 dus x = 4 geeft voor f een buigpunt. f(4) = 42 + 64Ö4 = 144 De buigpunten zijn dus gelijk. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7. | y = ax3 + bx2
+ cx + d y ' = 3ax2 + 2bx + c dat is een parabool met twee nulpunten, en midden daartussen in ligt x = -b/2a = -2b/6a = -b/3a y '' = 6ax + 2b en dat is nul als x = -2b/6a = -b/3a Het buigpunt ligt inderdaad midden tussen beide toppen. |
|
| 8. | f(x) =
(x2 - x)1/3 f ' (x) = 1/3 • (x2 - x)-2/3 • (2x - 1) f '' (x) = 1/3 • -2/3(x2 - x)-5/3 • (2x - 1) • (2x - 1) + 1/3 • (x2 - x)-2/3 • 2 = 0 1/3(x2 - x)-5/3 • {-2/3 • (2x - 1)2 + 2/3 • (x2 - x) } = 0 (x2 - x) = 0 ∨ 2/3(-4x2 + 4x - 1 + x2 - x) = 0 x(x - 1) = 0 ∨ -3x2 + 3x - 1 = 0 x = 0 ∨ x = 1 en dat laatste stuk heeft geen oplossing. de buigpunten zijn (0, 0) en (1, 0) |
|
| 9. | a. | f(x)
= x4 - 4x3
- 18x2 -
8x - 2 f ' = 4x3 - 12x2 - 36x - 8 f '' = 12x2 - 24x - 36 = 0 x2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 ∨ x = -1 Dat geeft de buigpunten (-1, -7) en (3, -215) |
| b. | f(x)
= x4 - 4x3 + 10x2 -
8x - 2 f ' = 4x3 - 12x2 + 20x - 8 f '' = 12x2 - 24x + 20 = 0 de discriminant is 242 - 4 • 12 • 20 = -384 dus dat heeft geen oplossingen |
|
| c. | Voor geen enkele! f '' is een parabool, en als die precies één snijpunt met de x-as heeft, dan is er geen tekenwisseling, dus geen buigpunt. |
|
| 10. | de rode is de
oorspronkelijk f de blauwe is f ' (is bijv. nul als de rode een maximum heeft) de groene is f '' (heeft bijv. nulpunten bij de extremen van de blauwe) |
|
| 11. | de blauwe is de
oorspronkelijke f de groene is f ' (is bijv. overal positief, want f stijgt overal) de rode is f '' (f is overal bol, dus f '' negatief) |
|
| 12. | a. | f
(x) = 2(2x - 1)3
+ 3(2x -
1)2 . f '\(x) = 3 • 2(2x - 1)2 • 2 + 2 • 3(2x - 1) • 2 f '(x) = 12(2x - 1)2 + 12(2x - 1) f '(x) = 12(4x2 - 4x + 1) + 24x - 12 f '(x) = 48x3 - 48x + 12 + 24x - 12 f '(x) = 48x3 - 24x |
| b. | f
'(x) = 48x2 -
24x f '' (x) = 96x - 24 f ''(x) = 0 geeft x = 1/4 f(1/4) = 1/2 dus het raakpunt is (1/4, 1/2) f '(1/4) = -3 dus de raaklijn is y = -3x + b Die moet door (1/4, 1/2) gaan dus 1/2 = -3 • 1/4 + b en dat geeft b = 5/4 De buigraaklijn heeft vergelijking y = -3x + 5/4 |
|
| 13. | f(x) =
x4 - 30x2
f '(x) = 4x3 - 60x f ''(x) = 12x2 - 60 f ''(x) = 0 12x2 = 60 x2 = 5 x = ±Ö5 y = (±Ö5)4 - 30(±Ö5)2 = 25 - 30·5 = -125 x4 - 30x2 = -125 noem x2 = p p2 - 30p + 125 = 0 p = (30 ±Ö400)/2 p = 25 ∨ p = 5 x2 = 25 ∨ x2 = 5 x = 5 ∨ x = -5 ∨ x = Ö5 ∨ x = -Ö5 xA = -5 en xD = 5 AD = 10 |
|