h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Grafieken veranderen
       
In deze les over parabool grafieken hebben we al drie manieren besproken over het veranderen van een functievoorschrift en wat dat voor gevolgen voor de grafiek heeft.
Laten we ze nog even samenvatten:
       

grafiek a omhoog schuiven  ⇒  f(x)  wordt  f(x) + a

       

grafiek a naar rechts schuiven  ⇒ elke x vervangen door (x - a)

       

afstand tot de x-as a keer zo groot    vermenigvuldig de hele formule met a

       
De eerste twee heten translaties (verschuivingen) en de derde heet een vermenigvuldiging.
  En als je bij de eerste f(x) vervangt door f(x) - a dab gaat de grafiek uiteraard omlaag.
  En als je bij de tweede x vervangt door (x + a) dan gaat de grafiek uiteraard naar links.
  En als je bij de derde een a neem die kleiner is dan 1 dan wordt de afstand tot de x-as uiteraard kleiner.

Zo, zijn we helemaal weer bijgepraat.

Deze les gaan we er drie transformaties aan toevoegen.
       
1.  Spiegelen in de x-as.
     
Dan klapt de hele grafiek als het ware om. Dat betekent dat elke y tegengesteld wordt  (plus wordt min en min wordt plus). In de formule kunnen we dat bereiken door een minteken voor de hele formule te zetten (want de hele formule, dat is immers de y).
     

spiegelen in de x-as 
  minteken voor de hele formule

       
2.  Spiegelen in de y-as.
       
Dat betekent dat punten rechts van de y-as naar links gaan en andersom.
Dus worden negatieve x-en positief en positieve x-en negatief.
In feite wisselt elke x van teken.  Dat betekent voor de formule:
       

spiegelen in de y -as  vervang elke x door -x 

       
3.  Vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as.
       
Dat is een lastige......
 
Hiernaast zie je twee grafieken. De rode is verkregen door de blauwe te vermenigvuldigen t.o.v. de y-as met factor 3 (dus elk punt is drie keer zo ver van de y-as afgekomen).

Als we op zoek zijn naar f(x)  (dat is de y van de nieuwe formule) dan zie je hiernaast dat die gelijk is aan de y van de oude formule die hoort bij 1/3x.

En wat voor het getal 3 geldt geldt natuurlijk ook voor een willekeurige a.
Conclusie:

       

afstand tot de y -as a keer zo groot      vervang elke  x  door  (1/a   x)

       
Tijd Voor Goed Nieuws!!!

We hebben nu zes mogelijke transformaties van grafieken bekeken.
Het goede nieuws is:   Daar komt niks meer bij!!!!
Tot en met je eindexamen HAVO wiskunde B is dit alles wat je moet weten over transformaties.
Altijd prettig een onderdeel af te sluiten toch?

Hier zijn ze nog een keer alle zes:
       
grafiek a omhoog schuiven ⇒  f(x)  wordt  f(x) + a
grafiek a naar rechts schuiven  ⇒  elke x vervangen door (x - a)
afstand tot de x-as a keer zo groot   vermenigvuldig de hele formule met a
afstand tot de y -as a keer zo groot      vervang elke  x  door  (1/a   x)
spiegelen in de x-as   minteken voor de hele formule
spiegelen in de y -as   vervang elke x door -x 
       
Voorbeeld met een wortelgrafiek:

Schets de grafiek van  y = 6 - 2
(0,5x + 4)   en geef het domein en het bereik..

Laten we een stripverhaal gaan maken:
       
1. Begin met de grafiek van y = √x

Die moet je gewoon uit je hoofd leren:  we beschouwen dat als een standaardgrafiek.

2. Vervang x door (x + 4)
Dat betekent dat de grafiek 4 naar links wordt geschoven
De formule wordt dan  y = √(x + 4)

       
3. Vervang elke x door 0,5x
Dat betekent dat de afstand tot de y-as  1/0,5 = 2 keer zo groot wordt.
De formule wordt dan  y = √(0,5x + 4)

4. Vermenigvuldig de hele formule met 2.
Dat betekent dat de afstand tot de x-as dubbel zo groot wordt gemaakt.

De formule wordt dan  y = 2√(0,5x + 4)

5. Zet een minteken voor de hele formule
Dat betekent dat de grafiek wordt gespiegeld in de x-as

De formule wordt dan   y = -2√(0,5x + 4)

6. Zet  +6 bij de hele formule (ervoor of erachter dat maakt niet uit)
Dat betekent dat de grafiek 6 omhoog wordt geschoven

De formule wordt dan eindelijk  y = 6 - 2√(0,5x + 4)

       
De schets zie je hierboven.
Daaruit kun je direct aflezen dat het randpunt  (-8, 6) is en het domein  [-8, →〉  en het bereik  〈←, 6]
       
De volgorde....
       
De volgorde waarin je bovenstaande stappen uitvoert kan wel gevolgen voor de grafiek hebben, maar het hoeft niet altijd.
Dat klinkt nogal vaag, maar ik zou er geen regels voor gaan leren. Kijk gewoon of je op de goede formule uitkomt.

Als je bijvoorbeeld in het voorbeeld hierboven stap 2 en stap 3 verwisselt gaat het fout.

Kijk maar:
GOED:
Vervang x door (x + 4) geeft  y =  √(x + 4)
Vervang daarna x door 0,5x  geeft   y =  √(0,5x + 4)

FOUT:
Vervang x door 0,5x  geeft  y =  √(0,5x)
Vervang daarna x door (x + 4)  geeft   y = √(0,5(x + 4)) = √(0,5x + 2)

Maar stap 4 en stap 5 mag je best met elkaar verwisselen.
Ga zelf maar na dat dat wel de goede formule oplevert.
       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Schets de grafieken van de volgende functies en leg uit via welke transformaties (en in welke volgorde) zij zijn ontstaan uit een basisgrafiek.
Geef het domein en het bereik.
       
  a. y = 8 - √(x - 2)  
       
  b. y = √(4x - 12)  
       
  c. f(x) =  3(8 - x)2 - 5  
       
2. a. De grafiek van y = √x  wordt 3 omlaag geschoven en 4 naar rechts. Daarna wordt de afstand tot de x-as gehalveerd. Geef een functievoorschrift van de grafiek die dan is ontstaan. 
       
  b. De grafiek van  y = x2  wordt gespiegeld in de x-as. Daarna wordt hij 2 omlaag geschoven en tenslotte wordt de afstand tot de y-as twee keer zo groot gemaakt. Geef een functievoorschrift van de grafiek die dan is ontstaan. 
       
3. Bekijk de volgende vier transformaties:
 
A:  
B:  
C:  
D:  
spiegelen in de x-as
afstand tot de y-as verdubbelen
2 naar links schuiven
5 omhoog schuiven
       
  Van welk van deze transformaties doet de volgorde er niet toe en van welke wl?
       
4. Hiernaast zie je de grafiek van   y = a + b√(x + c)

Bepaal uit deze grafiek de waarden van a, b en c

 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)