© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een toernooi organiseren.
         
Stel dat je een toernooi wilt organiseren voor n ploegen waarbij elke ploeg één keer tegen elke andere moet spelen.
Hoe maak je daarvoor een wedstrijdschema?
Nou, gewoon met modulorekenen natuurlijk!

Als n trouwens oneven is, dan zal er elke ronde een ploeg overblijven. We voeren in dit geval een dummyploeg D, en doen alsof tegen D spelen betekent een ronde vrij zijn. Dan zijn er dus altijd een even aantal "ploegen".
Geef elke ploeg een nummer van 1 tm n
Als er n ploegen zijn, dan zijn er dus n - 1 rondes (je speelt niet tegen jezelf)
 

Stel het schema voor ronde nummer r als volgt op:

         
voor ploeg n geldt:
ploeg n speelt tegen ploeg p in ronde r als 2pr  mod (n - 1)
 
voor alle andere ploegen geldt:
ploeg  p1 speelt tegen ploeg p2 in ronde r als  p1 + p2 k  mod (n - 1) 
         
KLAAR!

Waarom werkt dit?
         
De eerste indeelregel:
ggd(2, n - 1) = 1  dus heeft 2 een inverse (mod n)
Dat betekent dat  2pr  mod (n - 1) omgezet kan worden in  r = 2-1mod (n - 1) en die is eenduidig bepaald, dus er is precies één ronde waarin ploeg p tegen ploeg n speelt.
Ploeg n speelt in elk van de rondes tegen een andere ploeg, dus komt inderdaad alle ploegen precies één keer tegen.

De tweede indeelregel:
Stel dat er twee rondes r1 en r2 zijn waarin twee dezelfde ploegen i en j tegen elkaar spelen.
Dat kan alleen als  i + j = r1 mod (n - 1)  én tegelijkertijd   i + j = r2 mod (n - 1)
Maar dat kan alleen als r1 = r2.
Dus elke ploeg speelt inderdaad precies één keer tegen elke andere ploeg.

Voorbeeldtoernooi.
Laten we met deze twee regels een toernooi voor 6 ploegen ontwerpen, dus n = 6 en n - 1 = 5 dus er zijn 5 rondes
Voor ploeg 6 geeft dat
2p
1  mod 5  geeft  p = 3
2p
2  mod 5  geeft  p = 1
2p
3  mod 5  geeft  p = 4
2p
4  mod 5  geeft  p = 2
2p
5  mod 5  geeft  p = 5

Voor de andere ploegen zie je in de volgende tabel hoe groot  p1 + p2 (mod 5) is (je hoeft natuurlijk maar de helft in te vullen):

  p1 p2 p3 p4 p5
p1 x 3 4 5 1
p2   x 5 1 2
p3     x 2 3
p4       x 4
p5         x
         
In deze tabel staan dus de rondenummers waarin de teams elkaar ontmoeten.
Dat geeft voor het speelschema:
         
ronde 1 ronde 2 ronde 3 ronde 4 ronde 5
1 - 5
2 - 4
6 - 3
2 - 5
3 - 4
6 - 1
1 - 2
3 - 5
6 - 4
1 - 3
4 - 5
6 - 2
1 - 4
2 - 3
6 - 5
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)