© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Snelheidsvectoren.
       
In de vorige les zagen we al hoe de plaats van een bewegend punt P weergegeven kan worden door een plaatsvector:
       

       
Deze les gaan we bestuderen wat de snelheid van zo'n punt P is.
Op de eerste plaats zal het duidelijk zijn dat de snelheid een vector is:  hij heeft immers een grootte en een richting.
We gaan die snelheidsvector noteren als
       

       
vx is de component van de snelheid in de x-richting en vy de component in de y-richting.
Maar die snelheid in de x-richting is natuurlijk niets anders dan de snelheid waar mee x(t) verandert!!
En hoe berekenen we de verandering van een functie?

Precies!...... met de afgeleide!!!!
Dat wil zeggen dat vx = x'(t)  en  vy = y'(t) en dat de snelheidsvector te schrijven is als:
       

       
En als we die snelheidsvector eenmaal hebben vastgesteld kunnen we makkelijk daarvan de grootte en de richting apart bepalen.
       
grootte van de snelheid.
       
De grootte van de snelheid wordt ook wel de baansnelheid genoemd. Het is het getal dat op de kilometerteller van auto P zou staan. Die grootte is de lengte van de snelheidsvector, en die bepalen we uiteraard gewoon met Pythagoras:
       

       
Deze baansnelheid is geen vector meer, maar een "gewone" functie van t. Je kunt dus nu op de gebruikelijke manier (afgeleide  = 0) maximale en minimale baansnelheid berekenen.
       
richting van de snelheid.
       
De richting van de snelheid is de richting die een kompasnaald op het dashboard van auto P zou aangeven. Het is de richting van de baan van P, en dat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en dat is 
       

       
speciale gevallen:
  •

Als x' = 0 dan is dus vx = 0.  Dan beweegt P dus alleen in de y-richting (als tenminste  y' niet óók nul is), dus dan is de raaklijn aan de baan van P  verticaal
  • Als y' = 0 dan is dus vy = 0.  Dan beweegt P dus alleen in de x-richting (als tenminste  x' niet óók nul is), dus dan is de raaklijn aan de baan van P  horizontaal.
  • Als x'= 0  EN y'= 0  dan zijn de snelheden in de x-richting en y-richting dus beiden nul. Dat gebeurt in zogenaamde keerpunten van de baan van P.
       
       
   OPGAVEN
       
1. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2018-II

Een punt beweegt voor 0 ≤ t ≤  2π volgens de bewegingsvergelijkingen:
     
    x(t) = cos(t)sin(2t)
y(t) = cos(t)
     
 

Voor iedere waarde van t kunnen de snelheidsvector v vanuit punt Pt en de vector OPt worden getekend.

In de figuur hernaast zijn punt Pt , vector OPt en vector v getekend voor  t = 3/4π

Bewijs dat voor  t = 3/4π  de vectoren OPt en v gelijk zijn.
       
2. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2019-II
       
  De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen:

x(t) = cos(2t) - sin(2t)  en  y(t) = sin(2t) - sin(t)  met  0 ≤ t ≤ 2π
       
  Op verschillende tijdstippen bevindt P zich op de x-as. Op een van die tijdstippen bevindt P zich links van de y-as.
Zie de figuur hiernaast, waarin de positie van P op dit tijdstip is aangegeven.
     
  a. Bereken exact de x-coördinaat van P op dit tijdstip.
 

Op de tijdstippen t = 0 en t = π  bevindt P zich in hetzelfde punt.
Dit punt is met een stip aangegeven in de figuur  hiernaast.

Ook zijn de snelheidsvector van P op tijdstip t = 0 en de snelheidsvector van P op tijdstip t = π aangegeven.

 
     
  b. Bereken algebraïsch de hoek in graden tussen deze twee snelheidsvectoren. Geef je eindantwoord in één decimaal.
   

29,7º
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)