redeneringen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Redeneringen.

Laten we gaan proberen uit de vorige lessen eens wat logische gevolgtrekkingen uit beweringen te gaan maken. We gaan steeds uit van een aantal gegeven proposities en/of formules en zullen gaan proberen daar nieuwe conclusies uit te trekken.

We beginnen met een paar super simpele (en erg beroemde) basisgevallen en breiden de boel langzaam uit.

voorbeeld 1.   Modus Ponens.

Deze formule ( de modus ponens) is een tautologie:   (p₁ ∧ (p₁ ⇒ p₂)) ⇒ p₂ dus klopt altijd.
In normaal Nederlands is misschien wel makkelijker om te zien wat hier nou eigenlijk staat. Er staat namelijk niets meer dan   "als p₁ waar is, en als uit het feit dat p₁ waar is volgt dat dan ook p₂ waar is, dan is p₂ dus ook waar".
Vaak worden zulke ∧ series onder elkaar geschreven met de slotconclusie eronder. Dat is een stuk overzichtelijker.
De modus ponens zou er dan zó uitzien:

p₁
p₁ ⇒ p₂________
p₂

Tussen de regels boven de streep staat dus steeds ∧ , en de streep betekent ⇒

En natuurlijk kun je deze uitbreiden tot meer beweringen:

p₁
p₁ ⇒ p₂p₂⇒ p₃________
p₃

voorbeeld 2. Modus Tollens.

Laten we meteen met die eindvorm beginnen:

p₁ ⇒ p₂
¬ p₂
_________
¬ p₁

Net zo simpel als dit:
Neem de twee beweringen:
• Als Gerard 's nachts sex heeft gehad loopt hij de dag erop glimlachend rond
• Gerard loopt een dag niet glimlachend rond.
Dan volgt daaruit dat hij de nacht ervoor geen sex heeft gehad.

Daar staat precies hetzelfde als erboven met p₁ = Gerard heeft de nacht sex gehad en p₂ = Gerard loopt glimlachend rond.
In feite is dit gewoon de omgedraaide implicatie uit deze les. Merk daarom nog even op dat dit niet betekent dat als Gerard een dag glimlachend rondloopt dat hij dan inderdaad de nacht ervoor sex heeft gehad.

Misschien is Gerard gewoon altijd wel een erg vrolijk varkentje!

voorbeeld 3. Reductio ad Absurdum.

twee mogelijkheden (eigenlijk twee keer dezelfde):

p₁ ⇒ (p₂ ∧¬ p₂)
_______________
¬ p₁

¬ p₁⇒(p₂ ∧¬ p₂)_{__________________}p₁

Ga na dat hier staat: "Als iets onzin oplevert, dan is dat iets niet waar"

voorbeeld 4. Consequentia Mirabilis.

¬ p₁⇒p_{1

_________} p₁

Dit spreekt voor zichzelf.......letterlijk!!!
(het oude grapje: "regel 1: ik heb gelijk. regel 2: als ik niet gelijk heb treedt regel 1 in werking")

Combinaties maken.

Natuurlijk kun je ook eerst formules veranderen met de tautologieën die we al in eerdere lessen vonden voordat je ze in dit soort redeneringen plaatst.
Dit waren de twee belangrijksten:

(p₁ ⇒ p₂) ⇔ (¬ p₂ ⇒ ¬ p₁) (omgekeerde implicatie)
¬ ¬ α ⇔ α (de dubbele negatie)

Ik bedoel een voorbeeldje als het volgende. Stel dat de volgende vier beweringen allemaal waar zijn:

1. Alle jongens zijn eigenwijs.
2. Mensen met een lange neus zijn nooit eigenwijs.
3. Alle meisjes zijn intelligent.
4. Ik heb een lange neus.
Wat zegt dat nou precies over mij?

Dan kunnen we dat logisch als volgt ontrafelen:
Noem p₁ : iemand is een jongen en p₂: iemand is eigenwijs. Dan zegt de eerste bewering p₁ ⇒ p₂
Noem p₃: iemand heeft een lange neus. Dan zegt de tweede bewering p₃ ⇒ ¬ p₂
Noem p₄: iemand is intelligent. Dan zegt de derde bewering ¬ p₁ ⇒ p₄ (aannemend dat er alleen jongens/meisjes zijn)
Als ik een lange neus heb, dan geldt voor mij dus p₃
We hebben dan de volgende beweringen:

p₁ ⇒ p₂
p₃ ⇒ ¬ p₂
¬ p₁ ⇒ p₄
p₃

We gaan een rijtje Modus Ponens opbouwen:
Begin met de onderste: p₃
Dan de tweede: p₃ ⇒ ¬ p₂
¬ p₂ kunnen we met de eerste maken door omgekeerde implicatie: ¬ p₂ ⇒ ¬ p₁Tenslotte de derde: ¬ p₁ ⇒ p₄
We hebben dan het volgende rijtje met de conclusie eronder:

p₃
p₃ ⇒ ¬ p₂ ¬ p₂ ⇒ ¬ p₁ ¬ p₁ ⇒ p_{4

___________}p₄

De conclusie is: Ik ben intelligent. (eigenlijk: iemand met een lange neus is intelligent)


OPGAVEN

1.	Welke conclusie is mogelijk?

	a.	Als het herfst is vallen de bladeren van de boom Als het geen herfst is dan ben ik erg depressief

	b.	Alle jongens houden van computeren Alle meisjes hebben lang haar Sportieve mensen hebben kort haar Ik houd niet van computeren

	c.	Als ik geld heb dan ben ik vrolijk Als ik niet ziek ben dan ga ik sporten Ik ben nu niet vrolijk Als ik geen geld heb dan ga ik niet sporten

	d.	Iedereen die Hans heet is slecht in wiskunde Iedereen die niet Hans heet is niet blond Iedereen die geen auto heeft is blond Ik ben goed in wiskunde.

	e.	Als ik nu niet ga luieren dan ga ik over Als ik na de vakantie een arme sloeber ben dan heb ik geen baantje gehad Als ik nu ga luieren dan kan ik nu beter zelfmoord plegen Als ik over ga dan ga ik in de vakantie een baantje nemen Ik ben na de vakantie een arme sloeber.

2.	Wat volgt uit deze drie beweringen? Iemand die niet gelukkig is gaat altijd veel eten. Iemand die niet in geldnood zit is gelukkig. Iemand die in geldnood zit gaat niet veel eten.