h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek V, propositie 8.
       

"Van ongelijke grootheden heeft de grotere tot een andere een grotere verhouding dan de kleinere.
En een andere heeft tot de kleinere een grotere verhouding dan tot de grotere".

       
 

       
  Begin met twee ongelijke grootheden a en c, en noem a de grotere van de twee.
Begin ook met een willekeurige andere d.

Stel eerst dat  het blauwe deel c groter is dan het overgebleven groene stuk.
Neem dan een aantal keer het groene stuk totdat het groter is dan het paarse, en neem even vaak het blauwe stuk (in dit voorbeeld drie keer).
       
 

       
  Neem nu net zo vaak het paarse stuk totdat het voor het eerst groter is dan die blauwen samen (in dit voorbeeld vijf keer):
       
 

       
  Als je nu het groene en blauwe lijnen aan elkaar legt, dan is dat samen meer dan die paarsen. kijk maar:
       
 

       
  Links van de stippellijn zijn die blauwen meer dan die paarsen (immers we namen die paarsen tot ze voor het eerst groter waren dan de blauwen, dus met eentje minder nog niet.  Rechts van de stippellijn zijn die groenen meer dan die ene paarse (zo waren die groenen gekozen)
Dus de totale bovenste lijn is groter dan de onderste.
Maar die bovenste is precies drie keer de oorspronkelijke rode lijn a!

Dus driemaal a is wel groter dan  vijfmaal d, maar driemaal c is niet groter dan vijfmaal d
Dus  a : d  > c : d

En ook  vijfmaal d  is groter dan driemaal c, maar vijfmaal d is nioet groter dan driemaal a
Dus  d : c > d : a

Het geval waarin het blauwe deel van lijn a kleiner is dan het groene gaat op precies dezelfde manier.
 

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)