h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Punten, lijnen en vlakken
   
In "projectieve meetkunde" zit het woord projectie, en dat is niet voor niets.
Normaal gesproken, als we het hebben over de projectie van een punt op een vlak, dan bedoelen we de loodrechte projectie (ook wel orthogonale projectie genoemd) zoals in de figuur hiernaast.
P' is de loodrechte projectie van P op vlak A, waarbij de lijn PP' loodrecht op α staat.

 
Maar als je een voorwerp op een vlak wil projecteren zodat  de afbeelding ervan, gezien vanuit punt O, er het zelfde uitziet als het voorwerp, dan moet je dat anders projecteren. Dan moet je het snijpunt van OP met vlak α als projectiepunt P'  nemen. En de schilderkunst was dit vanaf de 15e eeuw al bekend toen kunstenaars als Albrecht Drer en Jan van Eyk een theorie van perspectief ontwikkelden.
       

       
Hier zie je hoe Drer met als hulpmiddel een raam (α) dat in gelijke vierkanten was verdeeld tussen zijn oog O en het voorwerp dat hij wil tekenen. Zijn tekenpapier was in precies dezelfde vierkanten verdeeld.
Hiernaast zie je wat er wiskundig gebeurt. P' is het snijpunt van PO met α.

Als je nou een hele lijn l op een vlak α wil projecteren dan kun je dat in n keer doen door de snijlijn te tekenen van het vlak door O en l met α.

Dat zie je hieronder.

       
En nou komt de eerste snuggere opmerking van de avond:  als twee lijnen l en m evenwijdig zijn, dan zijn hun projecties dat niet!  Kijk maar naar de volgende figuur:
       

       
Die l' en  m' zijn beslist niet evenwijdig. Het enige dat we er wl van kunnen zeggen, is dat ze beiden door het punt S gaan. S is het snijpunt van een lijn door O evenwijdig met l en m en vlak α. De vlakken Ol en Om snijden elkaar volgens lijn OS.
Wacht, laten we daar een kadertje omheen zetten, dan onthouden we het beter:
       

De projecties van evenwijdige lijnen gaan door n punt.

       
En het omgekeerde kan k voorkomen:  dat een verzameling lijnen door n punt in de ruimte als projectie een serie evenwijdige lijnen in α heeft.
       

       
Hierboven zie je beide gevallen nog een keer, deze keer heb ik er voor de duidelijkheid een kubus omheen getekend. Het projectievlak is beide keren het grondvlak van de kubus. O is de plaats van de waarnemer.
   
N,B. Bij die snijdende lijnen in de linkerfiguur hierboven hoeven er natuurlijk niet altijd evenwijdige projecties te komen.
Kijk maar hiernaast, Daar zijn de projecties van snijdende lijnen gewoon wr snijdende lijnen.

(dat komt natuurlijk omdat in het geval hiernaast OP niet evenwijdig aan vlak α is, dus gewoon een snijpunt S met α heeft).
 
       
Oneigenlijke punten.

De mogelijkheid dat snijdende lijnen evenwijdige projecties opleveren hierboven bracht de Franse architect Desargues er zo rond 1635 toe om een verzameling evenwijdige lijnen te beschouwen als een verzameling lijnen door een oneigenlijk punt. Dat is voor de getekende lijnen in de figuur linksboven dus het punt P.

Over die oneigenlijke punten is een boel onzin geschreven. Je zou dingen kunnen zeggen als "het snijpunt van evenwijdige lijnen in het projectievlak moet dan wel de projectie P' van dat punt P zijn, en dat ligt oneindig ver weg".  Of dingen als  "Twee evenwijdige lijnen snijden elkaar in het oneindige"  of nog meer van dat soort flauwekul. Wij houden er eenvoudig aan vast dat evenwijdige lijnen elkaar NIET snijden. Nergens. Punt uit!

Dit is een goede definitie van een oneigenlijk punt:
       
Een oneigenlijk punt  is de verzameling van alle lijnen, evenwijdig met een gegeven lijn.
       
Je ziet dat een oneigenlijk punt dus helemaal geen punt is, maar een verzameling lijnen. Elke verzameling evenwijdige lijnen wordt zo gekoppeld aan een oneigenlijk punt. (Algebrasch zouden we zeggen:  "evenwijdigheid is een equivalentierelatie, en een oneindig punt is een equivalentieklasse daarvan")

Waarom zo verwarrend doen met een punt dat eigenlijk een verzameling lijnen is? Het antwoord daarop is, dat door het zo te noemen veel stellingen eenvoudig te formuleren zijn. Allemaal uitspraken die we al kennen blijven gewoon gelden. Hier heb je er een paar:

       
  Het snijpunt van twee lijnen ligt op beide lijnen.
Twee lijnen snijden elkaar in een punt.
Een lijn door twee punten heet de verbindingslijn van die punten.
       
Die "punten" in deze uitspraken kunnen dus gewone punten of oneigenlijke punten zijn.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)