laadjesprincipe

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het laadjes-principe.

Wat in het Nederlands het "laadjesprincipe" heet, heet in het Engels het "pigeon-hole-principle" en omdat ik dat een veel mooiere naam vind, noem ik het voortaan het "duiventilprincipe".

Het duiventilprincipe zegt het volgende:

"Als een aantal duiven in gaten in een duiventil moeten,
en er zijn meer duiven dan gaten,
dan moeten er in minstens één gat twee duiven."

Klinkt eenvoudig niet?
Bij een duiventil-bewijs is het alleen de kunst de 'duiven' en de 'gaten' goed te kiezen.

Voorbeeld is de volgende stelling:

Er wonen in Nederland op elk moment minstens twee mensen
die precies even zwaar (in hele kg),
én even lang (in hele cm) én even oud (in hele jaren) zijn.

Het bewijs:
Laten we voor het gemak zeggen dat de gewichten van de mensen variëren tussen de 0 en 300 kg, dat hun lengte varieert van 0 tot 250 cm en hun leeftijd van 0 tot 120 jaar.
Dan zijn er voor de combinatie van de drie 300•250•120 = 9 miljoen mogelijkheden.

Maar het aantal mensen in Nederland is groter dan 9 miljoen!

Dus er zijn 9 miljoen 'gaten' (= combinaties lengte-gewicht-leeftijd) en meer dan 9 miljoen 'duiven' (= mensen). Het principe zegt dus dat er minstens twee mensen zijn die dezelfde combinatie hebben (= in hetzelfde gat moeten).
q.e.d.

Een iets lastiger voorbeeld dan maar?
Stelling:

In een kamer met 2 of meer mensen zijn er altijd twee te vinden
die hetzelfde aantal vrienden in die kamer hebben.

Daarbij gaan we ervan uit dat "vriend zijn met" wederzijds is.
Laten we voor het bewijs de vrienden zelf maar even aan het woord:

q.e.d.
Hier waren de gaten dus het "mogelijke aantal vrienden" en de duiven de mensen.

Bedenk bij de volgende opgaven steeds eerst goed wat de gaten en wat de duiven zijn. Kijk niet te snel bij de tip.


OPGAVEN

Toon de volgende stellingen aan:

1.	Bij elk veelvlak zijn er minstens twee vlakken met hetzelfde aantal zijden.

2.	Kies 10 verschillende getallen kleiner dan 100. Dan zijn er daarbinnen altijd twee groepjes te vinden die dezelfde som hebben.

3.	Bij elke rij van N getallen is er altijd een serie opeenvolgende getallen te vinden waarvan de som een N-voud is.

4.	Bij elke groep van N getallen zijn er altijd 2 te vinden zodat hun verschil deelbaar is door N - 1.

5.	Elk getal heeft een veelvoud dat alleen uit enen en nullen bestaat.

6.	Elk 16-cijferig getal heeft een serie opeenvolgende cijfers waarvan het product een kwadraat is.

7.	Als 25 mensen in een rij met 30 stoelen gaan zitten, zijn er minstens 5 stoelen naast elkaar bezet.

8.	10 volleybalteams spelen een halve competitie. Geen enkel team verliest alles.

	a.	Bewijs dat er dan twee teams hetzelfde aantal partijen winnen.

	b.	Bewijs dat op elk moment tijdens deze competitie er minstens twee teams zijn die precies hetzelfde aantal wedstrijden hebben gespeeld.

9.	a.	Een muziekband heeft 11 weken om te oefenen. Ze willen minstens elke dag één keer oefenen, maar nooit meer dan 12 keer binnen 7 dagen. Dan is er een serie van opeenvolgende dagen waarin ze precies 21 keer oefenen. aanwijzing: Noem x_n het aantal sessies dat ze na n dagen gehad hebben. Tel daar vervolgens steeds 21 bij op....

	b.	Als iemand in 30 opeenvolgende dagen 45 aspirines neemt, minstens één per dag, dan is er een serie van opeenvolgende dagen waarin hij precies 14 aspirines neemt.

	c.	Een schaker heeft 77 dagen om zich voor te bereiden op een toernooi. Hij wil 122 wedstrijden oefenen, minstens één per dag. Dan is er een serie opeenvolgende dagen waarin hij precies 21 wedstrijden speelt.

10.	Een toneelgezelschap geeft 17 voorstellingen per seizoen. Er zijn 5 vrouwelijke speelsters die elk 7 keer mee mogen doen in dit seizoen. Dan doen er minstens één keer 3 vrouwen mee.

11.	Er bestaan twee machten van 3 die een geheel aantal duizendtallen van elkaar verschillen.