h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Pietje Precies.
       
Het getal  π is intussen met snelle computers berekend tot in talloze decimalen, maar je kunt je misschien voorstellen wat een moeite de oude Grieken hadden om π te benaderen. Laten we (voor de grap, echt nuttig is het niet) zelf ook eens gaan proberen wat decimalen van π te vinden. En dan bedoel ik natuurlijk niet "even Googelen".

Bij een gegeven cirkel kun je een regelmatige driehoek vierhoek vijfhoek  .... n-hoek tekenen die er precies in past. Dat ziet er ongeveer z uit:
       

       
Hoe groter het aantal hoeken wordt, des te meer gaat de veelhoek op de cirkel lijken. Dat betekent dat de omtrek van de veelhoek nadert naar de omtrek van de cirkel. Dus als we een manier vinden om de omtrek van een n-hoek te berekenen, dan kunnen we de omtrek van een cirkel benaderen, en dan kunnen we ook π benaderen, want die omtrek is 2πr.

Neem een cirkel met straal 1, dus met omtrek 2π.

De ingeschreven driehoek heeft dan zijden van
3, dus omtrek 33. 
Dat geeft  2π
33  dus π 2,598...

Het ingeschreven vierkant heeft zijden van 
2  dus omtrek 42
Dat geeft  2π
42  dus π 2,828...

De ingeschreven zeshoek heeft zijden van 1, dus omtrek 6
Dat geeft  2π
6  dus π 3

De ingeschreven twaalfhoek heeft zijden
(2 - 3) dus omtrek 12(2 - 3)  (uitleg hieronder!)
Dat geeft  2π
12(2 - 3)   dus π 3,1058...

Je ziet, dat nadert steeds dichter tot  π.

       
Van n-hoek naar 2n-hoek.
       
Stel dat A en B twee opeenvolgende hoekpunten zijn van een n-hoek waarvan alle hoekpunten op de cirkel met straal 1 en middelpunt M liggen.
Neem AB = x

Teken de middelloodlijn MC van AB.
In driehoek ADM geldt:  (1/2x)2 + MD2 = 12
Dus MD = √(1 - 1/4x2)

CD = MC - MD = 1 - √(1 - 1/4x2)

In driehoek ADC geldt:  AC2 = (1/2x)2 + (1 - √(1 - 1/4x2))2

Conclusie:

       
En nu gaat het benaderen veel sneller. Begin bijvoorbeeld met een vierkant:
       
Een vierkant heeft zijden √2, dus omtrek  4√2, dus  π 2√2 = 2,828...
Een achthoek heeft zijden √(2 - √2) dus omtrek 8√(2 - √2) dus  π 4√(2 - √2) = 3,061....
Een zestienhoek heeft zijden  √(2 - √(2 + √2))  dus  π 8√(2 - √(2 + √2)) =  3,121...
Een 32-hoek heeft zijden  √(2 - √(2 + √(2 + √2))) dus     π ≈  √(2 - √(2 + √(2 + √2))) = 3,136...
       

Een 4096-hoek geeft  π ≈  √(2 - √(2 + √(2 + √2 + .....  en dat geeft al ongeveer 3,141594....
       
Recursief.
       
Je herkent natuurlijk direct  uit het vorige voorbeeld de recursierelatie   un = √(2 - √(4 - un-12 )).
In voeren in de GR dus maar, en in de tabel vindt je de achtereenvolgende waarden van de zijden, te beginnen bij  u1 = √2
       

       
Wacht, dat kan mooier...
De omtrek is steeds  2n + 1  keer de lengte van een zijde, en π is daarna de helft daarvan, dus 2n keer de zijdelengte.
Dus kunnen we ook in n keer een rijtje benaderingen voor π in beeld krijgen in  v(n):
       

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)