h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1.  De ingeschreven cirkel van een driehoek.
       
In elke driehoek kun je een cirkel tekenen die "er precies in past".  Dat wil zeggen dat elke grotere cirkel niet in de driehoek past. Die cirkel raakt dus alle zijden van de driehoek (als er nog ruimte was kon je hem een klein stukje opschuiven en groter maken).  't Is of je een ballon in de driehoek legt en hem dan langzaam opblaast totdat hij precies "klemzit".

Dat betekent dat de zijden van de driehoek de raaklijnen aan de cirkel zijn.
Maar dat betekent (zie de figuur) dat het punt M gelijke afstanden tot de raakpunten  P, Q en R heeft (namelijk de straal van de cirkel)

MP staat loodrecht op BC  (eigenschap van de raaklijn aan een cirkel) dus is MP ook de kortste afstand van M naar PC.  En zo zijn ook MQ en MR de afstanden van M tot BC en AC.  Kortom:  M heeft gelijke afstanden tot alle zijden van de driehoek.

     


Maar hoe heetten alle punten die gelijke afstanden tot twee lijnen hadden ook alweer?  Precies! Dat was de bissectrice!!

Conclusie:
       

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek
is het snijpunt van de bissectrices van de zijden.

       
Een netter bewijsje zie je hiernaast.

MQ = MP  (straal van de cirkel)
MB = MB  (nogal logisch)
∠MQB = ∠MPB = 90 (raaklijneigenschap van cirkel)

Daaruit volgt  ΔPMB  ≅ ΔQMB  (ZZR)
Dus is  ∠PBM = ∠QBM
Dus is BM bissectrice van ∠PBQ

       
2.  De omgeschreven cirkel van een driehoek.
       
In elke driehoek kun je een cirkel tekenen die "er precies omheen past".  Dat wil zeggen dat alle drie de hoekpunten precies op de cirkel liggen. 't Is of je een ballon om de driehoek legt en hem dan langzaam leeg laat lopen totdat de driehoek precies "klemzit".

Dat middelpunt M heeft dus gelijke afstanden tot de drie hoek[punten van de cirkel  (namelijk de straat van de cirkel).  Dus bijvoorbeeld MA = MB

Daar gaan we weer:
Hoe heetten alle punten die gelijke afstanden tot twee punten A en B hadden ook alweer?  Precies! Dat was de middelloodlijn van AB.

Conclusie:

       

Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek
is het snijpunt van de middelloodlijnen van de hoekpunten

       
       
       
  OPGAVEN
       
1. Examenopgave VWO wiskunde B, 2016-I
       
  Punt M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de scherphoekige driehoek ABC.

Op deze cirkel ligt punt D zo dat straal MD zijde AB in punt E loodrecht snijdt.

Zie de figuur hiernaast.

Bewijs dat CD de bissectrice van hoek ACB is.
       
2. Examenopgave VWO wiskunde B, 2016-I
       
 

In de figuur hiernaast is de omgeschreven cirkel getekend van een andere driehoek ABC. Op deze cirkel met middelpunt M liggen de punten H, D en Z.

Voor driehoek ABC geldt:

     
  - D ligt zodanig op de cirkel dat MD loodrecht staat op AB
  - H is het snijpunt van het verlengde van de hoogtelijn vanuit C met de cirkel;
  - Z is het snijpunt van de lijn door C en het snijpunt E van MD en AB met de cirkel.
     
  Teken driehoek ABC in de figuur hiernaast. Licht je werkwijze toe.
       
     
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)