© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

OF
       
We hebben een (hele) poos geleden al gezien dat "EN" bij telproblemen betekent dat je aantallen met elkaar moet vermenigvuldigen.  Dat was zo omdat bij "EN" twee of meer dingen allemaal moeten gebeuren.

Je kunt bij telproblemen ook te maken hebben met "OF"
Dat is zo als er meerdere dingen zijn waarvan er maar één van hoeft te gebeuren.

Voorbeeld 1.
Stel dat ik de beschikking heb over een groep van 10 jongens en 12 meisjes en ik moet daar een jongens- of een meisjesvolleybalteam uit kiezen  (een volleybalteam bestaat uit 6 spelers).
Wacht, dat "of" moet duidelijker...
.... ik moet daar een jongens- OF een meisjesvolleybalteam uit kiezen.
Hoeveel teams zijn mogelijk?

Je kunt het telprobleem nu het best in twee aparte opgaven splitsen.

•  Opgave 1.  Hoeveel jongensteams zijn mogelijk?  Nou dat zijn er natuurlijk  10 nCr 6 = 210
•  Opgave 2.  Hoeveel meisjesteams zijn mogelijk?   Nou dat zijn er natuurlijk  12 nCr 6 = 924

Als je een jongensteam OF een meisjesteam moet maken, dan  moet je deze aantallen bij elkaar optellen. Dat worden dus  210 + 924 = 1134 manieren.

(merk nog op:  als je een jongensteam EN een meisjesteam moest maken zou de de aantallen moeten vermenigvuldigen).
       
"EN"  =  "×"
"OF"  = 
 "+"   (splits het probleem in aparte stukken)
       
Voorbeeld 2.  Combinatie van OF en EN.
Ik heb drie vreemde dobbelstenen. Ze zijn wel gewoon kubusvormig, maar er staan rare symbolen op.
Hieronder zie je een bouwplaat van deze drie dobbelstenen.
       

       
Ik gooi deze drie dobbelstenen tegelijk op tafel.
Op hoeveel manieren kun je met alle drie de dobbelstenen hetzelfde plaatje gooien?

Nou, hetzelfde plaatje betekent:  drie sterren of drie vierkantjes of drie cirkels of drie driehoekjes.
Dus:  drie sterren OF drie vierkantjes OF drie cirkels  OF drie driehoekjes.
We maken er 4 opgaven van:
•  Opgave 1:   drie sterren. Dan moet de eerste steen ster zijn EN de tweede EN de derde.
    Dus 2 × 1 × 1 = 2 manieren
•  Opgave 2:   drie vierkantjes. Dan moet de eerste steen vierkantje zijn EN de tweede EN de derde.
    Dus 2 × 1 × 1 = 2 manieren
•  Opgave 3:   drie cirkels. Dan moet de eerste steen cirkel zijn EN de tweede EN de derde.
    Dus 1 × 2 × 3 = 6 manieren
•  Opgave 4:   drie  driehoekjes. Dan moet de eerste steen driehoekje zijn EN de tweede EN de derde.
    Dus 1 × 2 × 1 = 2 manieren
In totaal zijn er  2 + 2 + 6 + 2 = 12 manieren.
       
Hoogstens en Minstens.
       
De woorden "hoogstens" en "minstens" zijn meetstal aanwijzingen dat we met OF te maken hebben, en dus moeten splitsen in  meerder aparte opgaven (en dan na afloop de resultaten optellen).
Voor alle duidelijkheid:
"minstens 5"  betekent  "5 of meer"
"hoogstens 12""betekent  "12 of minder"

Voorbeeld 3.
Een middelbare schoolklas bestaat uit 12 jongens en 16 meisjes.
Er wordt een feestcommissie van 7 leerlingen uit gekozen.
In hoeveel mogelijke feestcommissies zitten minstens 6 meisjes?

"Minstens 5 meisjes"  betekent  5 of 6  of 7 meisjes
•  5 meisjes:  betekent 5 meisjes en 2 jongens, dus  (16 nCr 5) × (12 nCr 2) = 288288 manieren
•  6 meisjes betekent 6 meisjes en 1 jongen, dus  (16 nCr 6) × 12 = 96096 manieren
•  7 meisjes betekent 7 meisjes en 0 jongens, dus  (16 nCr 7) =11440 manieren
in totaal geeft dat  288288 + 96096 + 11440 = 395824 manieren.
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Hiernaast staan twee plaatsen (Oost en West) die door een aantal wegen met elkaar zijn verbonden.

Hoeveel verschillende manieren zijn er om van West naar Oost te gaan, waarbij je de pijlen moet volgen?

 

     
2. Een fruitautomaat heeft drie vensters naast elkaar waarachter drie banden onafhankelijk van elkaar kunnen draaien.
Op elke band staan 10 fruitplaatjes. Zie voor de aantallen de tabel  hieronder en de figuur hiernaast.

     
 
  band 1 band 2 band 3
kersen 3 2 2
sinaasappel 2 4 2
peer 2 2 2
druiven 3 2 4
     
  De automaat wordt in werking gezet, en als hij stopt staat er van elke band willekeurig één plaatje achter het venster.
     
  a. Op hoeveel manieren kunnen drie sinaasappels verschijnen?
     
  b. Op hoeveel manieren kunnen twee druiven en een peer verschijnen?
     
  c. Op hoeveel manieren kunnen drie dezelfde plaatjes verschijnen?
       
3. Belgische nummerborden bestaan uit drie letters gevolgd door drie cijfers.
     
  a. Hoeveel nummerborden zijn er mogelijk?  
       
  b. Hoeveel nummerborden zijn er mogelijk met precies één keer het cijfer 3?
       
4. (uit een Kangoeroewedstrijd)

Er moet een trein gemaakt worden door achter een locomotief vijf wagons (A, B, C, D, E) te plaatsen.
Wagon A moet dichter bij de locomotief komen dan wagon B
Op hoeveel manieren kan deze trein gemaakt worden?

       
5. Op hoeveel manieren kun je met drie dobbelstenen samen minstens 16 ogen gooien?
       
6. Koen gooit met twee dobbelstenen, en vraagt zich af:
"Op hoeveel manieren kan het totaal aantal ogen een even getal zijn OF meer dan 9?"
       
  ä. Beantwoord de vraag van Koen door een roosterdiagram te maken.
       
  b. Koen redeneert als volgt:
Er zijn in totaal 36 mogelijkheden, en de helft daarvan is even, dus dat zijn 18 mogelijkheden
Meer dan 9 kan op 6 manieren (5,5)(4,6)(6,4)(5,6)(6,5)(6,6)
In totaal dus 18 + 6  = 24 mogelijkheden.

Welke fout heeft Koen gemaakt?
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)