© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Nee, nee het zijn geen 32 segmenten, maar 31.
Laten we het aantal segmenten met n punten op de omtrek gelijkstellen aan S(n)
Dan geldt dus  S(1) = 1, S(2) = 2, S(3) = 4, S(4) = 8, S(5) = 16  maar S(6) = 31.

Het bewijs maakt gebruik van de formule van Euler:  V - R + H = 2
(het aantal V(lakken) - H(hoekpunten) + R(ibben) van een ruimtelijke figuur is gelijk aan 2)
Beschouw nu een tweedimensionale veelhoek als de projectie van een ruimtelijk veelvlak met één vlak niet in zicht. Dan wordt de formule  V - R + H = 1 en die geldt dus voor elke vlakke graaf. 

Voor n punten op de omtrek geeft elke groep van 4 punten een snijpunt binnen de cirkel, en er zijn  C(n, 4)  zulke groepen, dus ook  (n nCr 4)  snijpunten. (n nCr 4 is het aantal combinaties van 4 uit n)
Dus voor het totaal aantal knooppunten van de graaf  geldt:   H = (n nCr 4)  + n
Bij elk intern punt komen 4 verbindingslijnen samen, en bij elk punt op de omtrek komen n + 1 verbindingslijnen samen  (n - 1 van de lijnen door de cirkel en 2 van de cirkel zelf). Omdat elke verbindingslijn twee uiteinden heeft geldt voor het aantal verbindingslijnen  2R = 4 • (n nCr 4) + n(n + 1)

Dan geeft de aangepaste formule van Euler:  V = 1 + R - H  ofwel
V =  1 + 2 (n  nCr 4) + 0,5n(n + 1) - (n nCr 4) - n

Nu is  0,5n(n + 1) - n = 0,5n2 + 0,5n - n = 0,5n2 - 0,5n = 0,5n(n - 1) = n • (n - 1)/2 • 1 =  (n nCr 2)

Daarmee wordt de gezochte formule:
       

V = (n nCr 4) + (n nCr 2) + 1

       
En dat geeft voor  n = 6:  S = 31.
De volgenden zijn trouwens  n = 7:  S = 57   en   n = 8:  S = 99
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)