© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2006.

Fuelmaster produceert benzinepompen, die gebruikt worden door tankstations. In elke benzinepomp zit een pomp. Fuelmaster heeft elk jaar 40 000 pompen nodig voor zijn productie. Fuelmaster bestelt zijn pompen bij PumpTech. De bestelkosten bedragen 0,50 euro per pomp plus 300 euro per bestelling.
       
  a. Bereken de jaarlijkse bestelkosten als er 4000 pompen per bestelling geleverd worden.
       
  Fuelmaster wil altijd minimaal 1600 pompen in voorraad hebben (dat is een reservevoorraad voor zo'n twee weken productie). Voor het aantal pompen dat Fuelmaster op enig moment in voorraad heeft is een model opgesteld. Zie daarvoor de schets in de figuur hieronder. De productie en dus ook het verbruik van de pompen is gelijkmatig over het jaar verdeeld. Elke bestelling wordt afgeleverd op het moment dat de voorraad nog 1600 stuks groot is. Het aantal pompen dat Fuelmaster per keer bij PumpTech bestelt noemen we A.
       
 

       
  Voor het in voorraad houden van de pompen heeft Fuelmaster ook kosten. Het in voorraad houden van ιιn pomp kost 6 euro per jaar. De jaarlijkse voorraadkosten kunnen berekend worden door de gemiddelde voorraadpompen te vermenigvuldigen met de jaarlijkse kosten per pomp.

We gaan er nog even van uit dat er 4000 pompen per bestelling geleverd worden.
       
  b. Laat zien dat de jaarlijkse voorraadkosten dan 21600 euro bedragen.  
       
  De afdeling inkoop van Fuelmaster onderzoekt bij welke bestelgrootte de jaarlijkse kosten voor het bestellen en in voorraad houden zo laag mogelijk zijn. Men heeft daarvoor de volgende formule opgesteld:
   
 

       
 

Hierin is K het totaal van de jaarlijkse bestel- en voorraadkosten en euro en A het aantal pompen dat per keer besteld wordt.

Zoals je aan de formule kunt zien zijn de jaarlijkse kosten altijd hoger dan 29600 euro.
       
  c. Onderzoek uit welke vaste bedragen deze 29600 euro is opgebouwd.
       
  d. Stel de afgeleide van K op en bereken met behulp daarvan de bestelgrootte A waarbij K minimaal is.
       
       
2. Examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2004.

De firma Nedtyre verkoopt een speciaal type autobanden een garages, bandenspecialisten en autospeciaalzaken. Jaarlijks verkoopt Nedtyre 4500 banden van dit type.
Nedtyre koopt deze banden in bij de Italiaanse bandenfabriek Carrelli. Om de voorraad op peil te houden doet Nedtyre steeds bestellingen van 360 banden. We nemen aan dat de verkoop gelijkmatig over het jaar verdeeld is. Men zorgt ervoor dat de nieuwe bestelling telkens precies arriveert op het moment dat er geen banden meer in voorraad zijn. Dan zit er telkens 0,08 jaar, dus iets minder dan een maand, tussen twee opeenvolgende bestellingen.
De voorraad autobanden verloopt volgende de volgende grafiek:
       
 

       
  De voorraadkosten zijn evenredig met het aantal banden dat in voorraad is. De kosten om een band een jaar lang in voorraad te houden bedragen €180.
       
  a. Toon aan dat de totale voorraadkosten volgens dit model €32400 per jaar bedragen.
       
  De banden worden door Nedtyre voor €70 per stuk verkocht. De inkoopsprijs die Nedtyre betaalt is €320 per band. Bij het berekenen van de winst moet ook rekening worden gehouden met bovengenoemde voorraadkosten en met de leveringskosten. Deze leveringskosten bedragen €3500 per bestelling.
       
  b. Laat met een berekening zien dat uit het voorgaande volgt dat Nedtyre gemiddeld per band een winst van ongeveer € 23,08 maakt. Je mag hierbij geen gebruik maken van de formule die later in deze opgave vermeld wordt.
       
  De leveringskosten van  € 3500 gelden voor elke bestelling, ongeacht het aantal bestelde banden. Ook het jaarlijks verkochte aantal van 4500 banden blijft voortdurend gelijk. Nedtyre wil nu

onderzoeken of de gemiddelde winst per band verhoogd kan worden door in plaats van 360 banden een ander aantal banden per keer te bestellen. Hierdoor zouden de totale kosten af kunnen nemen. Men maakt de volgende formule:
 

  Hierin is W de gemiddelde winst per band in euro's en x de bestelgrootte (het aantal banden dat telkens besteld wordt).
       
  c. Toon aan dat deze formule voor iedere bestelgrootte x juist is.
       
  Nedtyre wil zoveel mogelijk winst per band maken.
       
  d. Stel de afgeleide van W op en bereken met behulp daarvan bij welke bestelgrootte x de gemiddelde winst per band maximaal is.
     

  419 

       
3. Examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2005.

Apotheker Veelman verkoopt het medicijn Clavarin. Dit medicijn wordt in strippen van 10 tabletten op de markt gebracht.
Veelman koopt enkele keren per jaar een gelijk aantal strippen bij de fabrikant. De prijs p die Veelman per strip moet betalen hangt af van het aantal bestelde strippen. Er geldt de formule: p = 3 - 0,0002q
In deze formule is p de prijs per strip in euro's en q de bestelgrootte, het aantal strippen dat Veelman elke keer koopt. Een bestelling mag niet groter zijn dan 6000 strippen. Behalve de prijs voor de strippen heeft Veelman nog andere kosten:
  • Voor elke bestelling betaalt Veelman 100 euro aan de fabrikant voor de afhandelingskosten.
  • De voorraadkosten voor veelman zijn 0,20 euro per strip per jaar.
       
  Veelman verkoopt elk jaar 30000 strippen Clavarin aan zijn klanten. De verkoop ligt het hele jaar door op hetzelfde niveau.

De prijs per strip is zo laag mogelijk bij een bestelgrootte van 6000 strippen. Daarom bestelde Veelman tot nu toe 5 keer per jaar 6000 strippen. Hij vraagt zich nu af of het voordeliger is om 6 maal per jaar een bestelling ter grootte van 5000 strippen te plaatsen.
       
  a. Onderzoek of het voor Veelman voordeliger is om van een bestelgrootte van 6000 strippen over te gaan op een bestelgrootte van 5000 strippen.
       
  Het aantal bestellingen dat Veelman per jaar doet noemen we n.  Omdat Veelman per jaar 30000 strippen afneemt, geldt voor het aantal strippen q dat hij per keer bestelt:  q = 30000/n.

We vatten de verschillende kostenposten voor Veelman samen:
  • inkoopkosten: per strip 3 - 0,002q euro.  
  • afhandelingskosten: 100 euro per bestelling.  
  • voorraadkosten: per strip 0,20 euro per jaar.  
       
  Veelman verkoopt Clavarin aan zijn klanten voor 4,50 euro per strip. De jaarlijkse opbrengst hiervan is dus 30000 • 4,50 = 135000 euro.
We kunnen de inkoopkosten voor de strippen uitdrukken in n.
Per strip zijn deze inkoopkosten gelijk aan  3 - 0,002 • 30000/n = 3 - 6/n.

De inkoopkosten per jaar voor alle 30000 strippen zijn dan  90000 - 180000/n.
Zo kunnen we ook de andere kostenposten uitdrukken in n. Dat levert de volgende formule op voor de winst W (in euro's) die Veelman jaarlijks heeft op de verkoop van 30000 strippen:
   
 

       
  b. Toon de juistheid van deze formule aan.
       
  Als je de grafiek van  y = 45000 - 100x + 177000/x  tekent, zie je dat deze grafiek dalend is.
Veelman kan dus het beste zo weinig mogelijk bestellingen per jaar doen om een zo groot mogelijke winst te realiseren. Dat de grafiek van y dalend is kun je ook nagaan met behulp van de afgeleide van y.
       
  c. Stel een formule voor de afgeleide van y op en toon met behulp van deze afgeleide aan dat de grafiek van y dalend is.
       
4. Examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2007.

Het bedrijf PrintLease verkoopt elk jaar 240 kopieermachines. Men verwacht dat dit de komende jaren zo zal blijven. Om er voor te zorgen dat het bedrijf steeds kopieermachines in voorraad heeft, doet PrintLease een aantal keren per jaar een bestelling bij de fabrikant. Om na te gaan welke kosten daarmee gemoeid zijn, hanteert PrintLease de volgende aannames:
 

-
-
-
-
-
-

 per jaar worden gemiddeld 240 kopieermachines besteld;
per keer worden evenveel kopieermachines besteld;
nieuwe bestellingen worden steeds precies afgeleverd als de voorraad op is;
de verkoop van kopieermachines verloopt gelijkmatig over het jaar;
de kosten voor het beheren van de voorraad zijn 60 euro per kopieermachine per jaar;
elke bestelling kost 480 euro.
       
  Bij PrintLease wil men weten of de kosten bij twee bestellingen per jaar hoger zijn dan de kosten bij vier bestellingen per jaar.
       
  a. Onderzoek met bovenstaande gegevens of dit het geval is.
       
  De kosten per jaar K kunnen we weergeven met de volgende formule:
   
 

   
  In deze formule is K in euro’s en is q het aantal kopieermachines dat PrintLease per keer bestelt.
       
  b. Leid deze formule af uit de aannames op de vorige bladzijde.
       
  Op een gegeven moment bestelt PrintLease telkens 40 kopieermachines per keer. Iemand beweert dat PrintLease minstens 10% kan bezuinigen op de kosten die hier bij horen. PrintLease moet dan wel een andere bestelgrootte kiezen.
       
  c. Onderzoek of deze bewering juist is.
 

 

  

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)