Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011

De cirkel door D die de lijn AB raakt in B en de cirkel door D die de lijn AC raakt in C, hebben koorde DF gemeenschappelijk. Zie de figuur.

Bewijs dat vierhoek ABFC een koordenvierhoek is.

Twee cirkels snijden elkaar in de punten A en B.
Door punt A wordt een willekeurige lijn getekend die de cirkels snijdt in P en Q.
AC is de raaklijn in A aan één van de cirkels.
In deze opgave gaan we bewijzen dat ^BP/_BQ een constante verhouding is, onafhankelijk van de lijn PQ.

Toon aan dat ∠APB = ∠CAB

Toon aan dat de driehoeken BAC en BPQ gelijkvormig zijn.

Toon aan dat ^BP/_BQ constant is.

PQ is een middellijn van een cirkel met middelpunt M.
R is een ander punt van die cirkel.
De raaklijnen in R en Q snijden elkaar in S.

Toon aan dat ∠RSQ = 2 • ∠RQP

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012

Gegeven is een parallellogram ABCD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in het punt E. Zie de figuur hiernaast.

Driehoek BDE is gelijkbenig.

Bewijs dit.

In de figuur hiernaast is opnieuw een parallellogram ABCD getekend.

Nu is ook gegeven dat de lijn door B en C raakt aan de omgeschreven cirkel van driehoek ABD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E en de cirkel in F.

Ook hier geldt: driehoek BDE is gelijkbenig.

Bewijs dat ∠BFD = 2 • ∠BEF

ABCD is een koordenvierhoek in cirkel c, waarvan de diagonalen AC en DB loodrecht op elkaar staan.

In de punten A, B, C en D worden de raaklijnen aan cirkel c getekend.
Die raaklijnen vormen een nieuwe vierhoek PQRS.

Toon aan dat PQRS ook een koordenvierhoek is.

Twee cirkels met middelpunten M en N raken elkaar in punt R. Zie de figuur hiernaast.

Toon aan dat N op de lijn MR ligt.

Een willekeurige lijn vanuit R snijdt de cirkels in P en Q.
Toon aan dat QN en PM evenwijdig zijn.

PQ is raaklijn aan twee cirkels met middelpunten M en N en raakpunten P en Q.
MN snijdt de cirkels aan de buitenkant in A en in B
S is het snijpunt van AP en BQ

Toon aan dat ∠ASB = 90º

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2013

Gegeven is een hoek A en een cirkel c. Een been van hoek A snijdt de cirkel c in de punten B en C. Het andere been van hoek A raakt de cirkel c in punt D. Zie de figuur.

De driehoeken ABD en ADC zijn gelijkvormig.

Bewijs dit.

In de figuur hiernaast is de bissectrice van hoek A getekend. Deze snijdt lijnstuk BD in punt P en lijnstuk CD in punt Q.

Bewijs dat de hoeken PQD en QPD even groot zijn.

In punt R wordt de raaklijn aan een cirkel getekend.
Daarna worden de punten P en Q zo gekozen op de cirkel dat de hoek die PR met de raaklijn maakt gelijk is aan hoek QRM (zie de figuur hiernaast).

Toon aan dat het middelpunt van de cirkel dan op PQ ligt.

10.

Gegeven is een gelijkbenige driehoek ABC met
AC = BC.
Cirkel c raakt AB in punt A en snijdt AC in D.
Een lijn door D evenwijdig aan BC snijdt de cirkel ook nog in een ander punt E.
AE snijdt BC in punt F.

Toon aan dat AF = AB.

11.

A, B en C liggen op een cirkel
CQ is evenwijdig aan de raaklijn in A aan die cirkel
CP is evenwijdig aan de raaklijn in B aan die cirkel

Toon aan dat CP = CQ

12.

Gegeven is de cirkel c met middellijn AB en middelpunt M. Lijn k raakt c in A. Lijn l is een lijn door B die c in nog een ander punt D (ongelijk aan A) snijdt. P is het snijpunt van k en l.

Verder is gegeven dat ∠AMP = ∠APD. S is het snijpunt van AD en PM. Zie de figuur hiernaast.

Bewijs dat AS = PS = MS.

13.

Twee cirkels raken elkaar in R met gemeenschappelijke raaklijn r.
P en Q zijn twee punten van die cirkels zodat R op PQ ligt.
Door Q wordt een lijn evenwijdig aan r getekend, en die snijdt de cirkel waar Q op ligt in S.
Toon aan dat r de bissectrice van hoek PRS is.

14.

examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2015 (gewijzigd)

Gegeven zijn twee halve lijnen k en l vanuit punt A en een cirkel met middelpunt M die zowel k als l raakt. De raakpunten van k en l aan de cirkel zijn respectievelijk B en C. Zie de linker figuur. Uit de congruentie van driehoek ABM en driehoek ACM volgt dat AM bissectrice is van hoek BAC

Toon aan dat AM bissectrice is van hoek BAC.

In de rechter figuur is de situatie van de linker figuur uitgebreid. Lijn m is evenwijdig aan k en raakt de cirkel in punt D. De lijnen l en m snijden elkaar in punt E. Uit de congruentie van driehoek ECM en driehoek EDM volgt dat EM bissectrice is van hoek CED.

Bewijs dat ∠AME = 90º

15.

Twee cirkels raken elkaar in P.
SQ en TR zijn twee evenwijdige raaklijnen aan die cirkels, waarbij R en Q op de raaklijn in P liggen

Toon aan dat P, S en T dan op één lijn liggen.

16.

De punten P, Q en R liggen op een cirkel c.
In punten Q en R wordt de raaklijn aan die cirkel getekend.

RS en RT zijn evenwijdig aan die raaklijnen.

Toon aan dat RST een gelijkbenige driehoek is.

17.

Driehoek PQR heeft een omgeschreven cirkel met middelpunt M

De raaklijnen aan die cirkel in R en in Q snijden elkaar in S.

Toon aan dat de punten M, Q, R en S op een cirkel liggen.

18.

Van koordenvierhoek ABCD staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
De raaklijnen in de punten A, B, C en D snijden elkaar in de punten P, Q, R en S.

Toon aan dat PQRS weer een koordenvierhoek is.

19.

TAB is een gelijkbenige driehoek met tophoek T.
Lijn l gaat door B en staat loodrecht op TB. l snijdt het verlengde van TA in punt S.

Toon aan dat ∠SAB = 90º + ∠SBA

20.

De bissectrice van hoek A van een driehoek snijdt de omgeschreven cirkel in R.
Toon aan dat de raaklijn aan de cirkel in R evenwijdig is aan BC.

21.

Twee cirkels raken elkaar in R.
Een lijn door R snijdt de cirkels in A en B.
De lijnen AE en BE snijden de cirkels in C en D. Zie de figuur hiernaast.

Toon aan dat C, E, D en R op één cirkel liggen.

22.

Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2016-I

In de figuur hieronder is driehoek ABC getekend met zijn omgeschreven cirkel. De lijn door A evenwijdig met zijde BC snijdt de cirkel behalve in A ook in punt F.
Lijn l raakt de cirkel in F. De hoek tussen l en lijnstuk CF is α en de hoek tussen l en lijnstuk AF is β.

Bewijs dat l evenwijdig is aan AC.

23.

Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2017-I

AB is een koorde van een cirkel met middelpunt M. Op deze koorde is een gelijkbenige, stomphoekige driehoek ABC getekend met C op de cirkel en AC = BC. De raaklijn aan de cirkel in A snijdt lijn BC in punt D .

Zie de volgende figuur.

Er geldt: lijn AC is bissectrice van hoek BAD.

Bewijs dit.

In de volgende figuur is de vorige situatie uitgebreid. Door A, C en D is een gestippelde cirkel getekend. Punt E is zo op lijnstuk AB gekozen, dat lijnstuk EC de gestippelde cirkel in een punt F snijdt.

De lijnstukken AC en DF snijden elkaar in punt G

Bewijs dat G op de cirkel door A, E en F ligt.

24.

Kangoeroewedstrijd.

M is het middelpunt van de cirkel,
P is een punt buiten de cirkel.
PR is een raaklijn aan de cirkel,
PB is een bissectrice van de hoek RPA.

Hoe groot is hoek RBP?