Nieuwe pagina 1

aantal machines dat
de aannemer nodig heeft

aantal
machines
dat CSC
stuurt

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Ik heb twee dobbelstenen. Dobbelsteen 1 heeft 4 gele en twee rode vlakken en dobbelsteen 2 heeft 3 gele en 3 rode vlakken.

Bereken de kans op precies één keer rood als ik 6 keer met dobbelsteen 1 gooi.

Ik gooi nu beide dobbelstenen op tafel. Als er twee gele vlakken verschijnen krijg ik van jou 3,00 euro. In de andere gevallen krijg jij van mij 1,50 euro.

Is dat een eerlijk spel? Licht toe met een berekening.

Als je in een bus, tram of trein meerijdt zonder daarvoor te betalen dan heet dat zwartrijden.
Als je betrapt wordt, dan moet je alsnog je vervoer betalen, plus een extra boete van €35.
Gerard rijdt elke vrijdag met de trein van Groningen naar Assen. Een kaartje kost €5,- maar Gerard heeft ontdekt dat op deze reis (die slechts 18 minuten duurt) niet zo vaak wordt gecontroleerd. Hij weet uit ervaring dat de kans op een controle ongeveer 12% is.

Hij vraagt zich daarom af of het niet goedkoper zou zijn nooit een kaartje te kopen.

Bereken de verwachtingswaarde van de kosten voor een treinreis als Gerard geen kaartje koopt.

€4,80

Hoe groot zou de controlekans moeten zijn zodat het niet meer voordeliger wordt geen kaartje te kopen?

0,125

Hoe groot zou de boete moeten zijn (bij controlekans 12%) zodat het niet meer voordeliger wordt geen kaartje te kopen?

€36,67

Gerard is wiskundig ingesteld en probeert een formule te ontwikkelen voor de kosten van een reis (K) en de controlekans (p) en de hoogte van een boete (B) waarbij het niet meer voordeliger is geen kaartje te kopen.

Druk B uit in K en p.

B = ^K/_p - K

Tijdens een ritje van zijn huis naar zijn werk moet een werknemer twee bruggen over. Hij weet dat de kansen dat die bruggen openstaan (en hij dus moet wachten) gelijk zijn aan 0,4 en 0,5.
(Het open of dicht zijn van een brug is onafhankelijk van de andere brug)

Maak een kansverdeling voor het aantal keer dat de werknemer moet wachten, en bereken de verwachtingswaarde daarvan.

E = 0,9

Maak een formule voor die verwachtingswaarde E als functie van de kansen p en q dat de bruggen dicht zijn.

E = p + q

Als je meedoet aan de Nederlandse Lotto, dan moet je op een lottoformulier 6 verschillende getallen kiezen uit de getallen 1 t.m.45 plus een kleur uit 6 kleuren. Een formulier om deel te nemen kost €1,50.
Bij een trekking worden ook 6 verschillende getallen plus een kleur willekeurig gekozen, en er wordt gekeken
De basisprijzen die je kunt winnen zijn als volgt:

wat moet je goed hebben:	je prijs:
6 getallen + kleur	€7.500.000
6 getallen	€1.000.000
5 getallen + kleur	€50.000
5 getallen	€450
4 getallen + kleur	€50
4 getallen	€15
3 getallen + kleur	€6
3 getallen	€4,50
2 getallen	€1,50

Hoeveel procent van de inkomsten geeft de Lotto terug aan de deelnemers?

57,9%

Elke keer als de hoofdprijs van 7,5 miljoen (de Jackpot) niet wordt uitgekeerd, dan wordt die de volgende keer verhoogd met 0,5 miljoen.
Er worden bij elke trekking ongeveer 3,2 miljoen loten verkocht.

Bereken de kans dat de Jackpot oploopt tot minstens 10 miljoen.

0,72

Er bestaan 4 bloedgroepen: O, A, B en AB, maar dezen komen niet even vaak voor. In de volgende tabel zie je hoeveel procent van de Nederlanders welke bloedgroep heeft:

bloedgroep	O	A	B	AB
aantal	47%	42%	8%	3%

Laten we een spelletje gaan spelen. Jij geeft mij eerst 10 euro. Daarna vragen we aan een willekeurige voorbijganger wat zijn/haar bloedgroep is, en afhankelijk van het antwoord krijg jij van mij het volgende geld terug:

bloedgroep	O	A	B	AB
teruggave	€10	€4	€20	€60

Wie van ons zal er bij dit spelletje winst maken? Hoeveel winst zal dat per spelletje gemiddeld zijn?

ik: € 0,02

De kans dat het op een bepaalde dag regent of niet, hangt af van de situatie op de dag ervoor. De volgende tabel geeft aan hoe.

		vandaag
		regen	niet-regen
gisteren	regen	0,6	0,4
gisteren	niet-regen	0,3	0,7

Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat, als het maandag regent, dat dan de kans dat het dinsdag weer regent gelijk is aan 60%
Stel dat het in een bepaalde week op maandag regent.
Bereken dan de verwachtingswaarde van het aantal dagen van dinsdag-woensdag-donderdag dat het zal regenen.

1,524

Laura en Hans spellen het volgende spelletje:
Als inleg betaalt Hans €5,-
Daarna gaat hij met een muntstuk gooien, net zolang totdat hij KOP gooit, Maar wel met een maximum van 6 keer gooien.
Hij verdient daarmee geld terug volgens deze tabel:

aantal keer gooien	1	2	3	4	5	6
teruggave	€0	€2	€6	€20	€40	€75

Hoeveel moet Hans per spelletje gemiddeld verwachten te winnen of verliezen?

winst 1,09375

Waar zou je het getal 75 uit de tabel in moeten veranderen zodat dit spelletje eerlijk wordt?

€ 40

Een vaas bevat 10 knikkers: 5 rode en 5 blauwe.
Je haalt er zonder terugleggen 2 uit.
Als de twee dezelfde kleur hebben krijg je € 1,10. Als ze verschillend van kleur zijn verlies je € 1,00

Is dat een gunstig spel voor je?

nee: E = -¹/₁₅

Bij hoeveel knikkers (evenveel van elke soort) is het spel gunstig en bij hoeveel ongunstig?

Bij een geschiedenistentamen moet een student bij 9 moorden het juiste jaartal noemen. Zie de figuur hiernaast.
Hij heeft echter geen enkel idee en moet overal volledig gokken.

Op hoeveel verschillende manieren kan hij gokken?

Om het iets makkelijker te maken heeft de docent de vragen in drie groepjes van 3 verdeeld:

Voor één groepje van drie blijkt de tabel hiernaast te gelden voor een student die geen enkel idee heeft.

aantal goed	0	1	2	3
kans	0,33	0,50	0	0,17

Leg duidelijk uit hoe je de kansen in deze tabel kunt berekenen.

Bereken hoeveel kaartjes de student nu gemiddeld goed zal hebben.

In een doos zitten vijf ballen: drie roden en twee witten. Iemand haalt er in één greep aselect drie ballen uit.

Bereken de kans op 2 witten en 1 rode.

0,3

Iemand anders haalt er één voor één ballen uit (zonder ze terug te leggen) en stopt zodra hij een witte heeft.

Hoeveel ballen zal hij er gemiddeld uithalen?

Iemand doet nu een aantal witte ballen extra in de vaas. Er is gegeven dat de kans op 2 roden en 1 witte in een greep van drie ballen dan gelijk is aan 0,175.

Bepaal met je grafische rekenmachine hoeveel witte ballen in de vaas zaten. Geef een duidelijke uitleg.

11.

Je hebt niet erg veel vertrouwen in de afloop van je wiskunde-proefwerk. Gelukkig stelt je leraar het volgende voor. Hij heeft een bak met knikkers, genummerd 3,2,2,1,1,1. Jullie doen beiden een blinddoek voor en trekken steeds een knikker uit de bak. Hij begint. Na afloop hebben jullie beiden dus drie knikkers. Het cijfer dat je krijgt is de som van de drie door jou getrokken getallen.
Jij besluit akkoord te gaan. Maar je speelt vals en kijkt steeds stiekem en pakt als je aan de beurt bent dus lekker de knikker met het hoogste cijfer.

Bereken de kans dat jij een voldoende haalt.

0,75

Als de leraar dit spelletje met iedereen uit de klas zou doen, wat verwacht je dan dat het gemiddelde van de klas zal zijn?

5⁵/₆

12.

Plinko was een paar jaar geleden een erg populair TV-spelletje, vooral door de quiz "The Price is Right" waarin het gespeeld werd.

Hiernaast zie je iemand die een groot Plikobord heeft gemaakt.
In één van de 5 openingen (A, B, C, D, E) bovenaan wordt een schijf gegooid. Die valt omlaag en wordt door de pinnen in het bord steeds gedwongen om naar rechts of naar links te gaan (beiden met kans 0,5)

De gewonnen prijs staat in de vakken onderaan waarin de schijf uiteindelijk beland.

Bereken voor elk vak bovenaan de gemiddelde te verwachten winst.

13.

Examenvraagstuk.

Hepatitis A wordt over het algemeen gezien als een onschuldige infectieziekte, maar sommige mensen kunnen van Hepatitis A ernstig ziek zijn. Het lichaam kan antistoffen maken tegen het Hepatitis A-virus. Is dat bij iemand gebeurd, dan is hij immuun. Dat wil zeggen dat hij deze ziekte niet meer kan krijgen. Met een AHA-test kan worden vastgesteld of iemand antistoffen heeft. Zonder antistoffen is hij niet immuun en loopt hij het risico van besmetting. In de figuur herinaast is voor elke leeftijd af te lezen hoeveel procent van de Nederlandse bevolking (van die leeftijd) niet immuun is voor het Hepatitis A-virus.

Voor de Nederlandse bevolking geldt dat het percentage 45-jarigen dat immuun is ruim drie keer zo groot is als het percentage 30-jarigen dat immuun is.

Leg met behulp van de figuur uit dat dit klopt.

In de tropen is het risico van besmetting door het Hepatitis A-virus groot voor mensen die niet immuun zijn. Nederlanders die naar de tropen reizen kunnen zich laten inenten. Hierdoor zijn de tijdelijk immuun voor Hepatitis A. De gezondheidsdienst kan kiezen tussen twee procedures:
I: 'Blind inenten'; dat wil zeggen dat iedere tropenreiziger wordt ingeënt. Er wordt niet vooraf onderzocht of hij al immuun is voor Hepatitis A.
II: 'Gericht inenten'; dat wil zeggen dat iedere tropenreiziger eerst een AHA-test ondergaat. Is de reiziger niet immuun dan wordt hij ingeënt, anders wordt hij niet ingeënt.

Neem aan dat een inenting ƒ200,- per persoon kost en een AHA-test ƒ40,-. We bekijken een groep van 20 aselect gekozen Nederlanders van dezelfde leeftijd die naar de tropen willen reizen. Er zijn twee mogelijkheden: 'blind inenten' of 'gericht inenten'.

Stel dat al deze mensen 50 jaar oud zijn.

Laat met een berekening zien dat 'gericht inenten' voor deze groep naar verwachting goedkoper is dan 'blind inenten'.

Bij een andere leeftijd dan 50 jaar zijn voor zo'n groep van 20 mensen de verwachte kosten van 'gericht inenten' gelijk aan de kosten van 'blind inenten'

Welke leeftijd is dat? Licht je antwoord toe.

14.

Fietsen worden vaak gestolen. Het is daarom aan te raden om bij de aanschaf van een nieuwe fiets een diefstalverzekering af te sluiten. Je kunt dan, bij diefstal van je fiets binnen 5 jaar, een zeker percentage van het aankoopbedrag terugkrijgen. GARANT is een verzekeringsmaatschappij voor fietsen.

Hieronder staan 4 tabellen met gegevens.
In tabel A zie je wat voor fietsen de klanten van GARANT hebben.
In tabel B zie je hoeveel procent van welk soort fietsen wordt gestolen
Tabel C geeft de aankoopwaarde van nieuwe fietsen.
Tabel D zegt hoeveel procent GARANT terugbetaalt, afhankelijk van de nieuwwaarde.

De gemiddelde nieuwwaarde van een fiets zal bij benadering 486.25 euro zijn.
Leg uit hoe deze waarde uit tabel C te vinden is, en leg ook uit waarom dit een benadering is.

Bereken het gemiddelde bedrag dat GARANT per verzekerde fiets in een jaar zal moeten uitkeren.

15.

Bij een kaartspel heeft elke kaart een kleur: rood of zwart.
Je kun ook naar de soort van de kaart kijken: klaveren, ruiten, harten of schoppen

Ans en Bas spelen een gokspel met behulp van een compleet spel kaarten (52 stuks; van elke soort 13)
Ans betaalt eerst een bepaalde inzet.
Daarna trekt ze willekeurig drie kaarten (zonder ze terug te stoppen).
Als deze kaarten alle drie dezelfde kleur hebben krijgt zij haar inzet dubbel terug. Als de drie kaarten van dezelfde soort zijn krijgt ze haar inzet tien keer terug. In alle andere gevallen is ze haar inzet kwijt.

Maak een kansverdeling voor de winst van Ans en bereken daarmee of dit spelletje in haar voordeel is of niet.

Ans en Bas gaan nu een ander spelletje spelen. Op een gegeven moment heeft Bas de kaarten hiernaast in zijn hand. Ans pakt hier willekeurig drie kaarten uit.

Bereken de kans dat zij (onder andere) beide azen pakt.

Bas denkt dat de kans dat Ans minstens twee even hoge kaarten pakt (van de drie) niet zo groot is.

Bereken deze kans.

16.

In Nederland was in 1985 het aantal bevallingen van één kind gelijk aan 986,1 per 1000 bevallingen. Het aantal tweelingen was 13,5 per 1000 bevallingen.. Het aantal drielingen was 0,4 per 1000 bevallingen. (het aantal vier- of vijflingen of meer was dus te verwaarlozen)

Bereken het gemiddeld aantal kinderen bij een geboorte

Op 1 januari vonden in een ziekenhuis 10 bevallingen plaats. Bereken de kans dat daarbij 12 kinderen werden geboren.

17.

De PABO-opleidingen zijn de laatste jaren steeds strenger geworden met hun rekentoetsen. Het eerste jaar moet iedere student zo'n toets halen.
De kans dat een student slaagt voor de test is 75%. Voor studenten die de eerste test niet halen zijn er nog maximaal twee herkansingen, ook iedere keer met slaagkans 75%. Iemand die voor de derde keer wéér niet slaagt is definitief afgewezen, en moet de opleiding verlaten.

Hoe groot is de kans dat een student de opleiding moet verlaten?

0,0156

Hieronder staat een kansverdeling voor het aantal tests dat een kandidaat zal doen.

tests	1	2	3
kans	0,75	0,19	0,06

Bereken alle kansen in deze tabel op vier decimalen nauwkeurig.

Het afnemen van één test kost de school 1,40 euro. Men heeft voor het afnemen van alle tests voor het komende jaar een bedrag van 2000 euro gereserveerd.

Hoeveel eerstejaars studenten verwacht men dat er zullen zijn?

1091

18.

Iemand heeft een TV-quiz gewonnen en mag als prijs kiezen uit drie mogelijkheden.

De quizmaster heeft een vaas met daarin 4 enveloppen. In twee enveloppen zit 1000 euro, in één enveloppe zit 500 euro en in de laatste enveloppe zit 2000 euro

De mogelijkheden zijn:

Kies willekeurig één enveloppe en neem de prijs die daarin zit.

Kies eerst willekeurig een enveloppe en verwijder die uit de vaas. Daarna verwijdert de quizmaster een enveloppe met 1000 euro uit de vaas. Kies tenslotte één van beide overgebleven enveloppen en neem de prijs die daarin zit

Doe helemaal niets met de vaas en neem gewoon direct een prijs van 1000 euro mee naar huis.

Welke mogelijkheid zal de quizwinnaar gemiddeld het meeste geld opleveren?

19.

Ik heb in mijn portemonnee alleen maar muntstukken van 10 eurocent en van 20 eurocent.
Als ik er willekeurig een muntstuk uithaal, is de verwachtingswaarde voor mijn bedrag 16 eurocent.

Ik doe er 10 munten van 20 eurocent bij.
Nu is de verwachtingswaarde ineens 17 eurocent geworden.

Hoeveel geld had ik oorspronkelijk in mijn portemonnee?

9,60

20.

Een fabriek van muizenvallen wil in verband met de toenemende concurrentie haar product gaan verbeteren.
Men besluit voor een periode van één jaar een researchafdeling te starten. Er zullen voor een jaar lang een aantal muizenvaldeskundigen in dienst worden genomen.
Het management schat de kans dat zo'n muizenvaldeskundige in een jaar tijd een wezenlijke verbetering ontdekt gelijk is aan 70%. Méér dan één verbetering zal in een jaar zeker niet lukken.
Als er inderdaad een verbetering wordt gevonden zal dat naar schatting €80.000,- opleveren. Een tweede verbetering levert daarna nog eens €25000,- op en een derde nog €10000,-. Nog meer verbeteringen heeft geen zin; de markt voor muizenvallen is nou eenmaal beperkt.

Elke deskundige die in dienst wordt genomen kost echter € 30.000,-

Het management maakt voor het geval er drie deskundigen zullen worden aangenomen de volgende kansverdeling voor het aantal verbeteringen dat gevonden zal worden:

aantal verbeteringen	kans
0	0,027
1	0,189
2	0,441
3	0,343

Leg duidelijk uit waar het getal 0,441 uit deze tabel vandaan komt.

Bereken de verwachte winst voor de fabriek als er 3 deskundigen worden aangenomen.

10870

Hoeveel deskundigen moet men aannemen om de verwachte winst zo groot mogelijk te maken?

2: 25050

21.

Examenvraagstuk.

Een aannemer probeert een opdracht voor de aanleg van een oliepijpleiding door Alaska te krijgen. Indien hij de opdracht krijgt zal hij graafmachines nodig hebben. Grondproeven zullen moeten uitwijzen of er 1,2,3 of 4 van deze machines nodig zijn. De aannemer zal de machines van het bedrijf CSC (Chicago Steel Corporation) kopen als ze direct ter plaatse beschikbaar zijn. Indien er niet genoeg machines zijn zal de aannemer de ontbrekende machines kopen bij een concurrent van CSC die over een filiaal in Alaska beschikt.

Om de machines tijdig ter plaatse te hebben moet CSC de machines reeds naar Alaska brengen voordat alle resultaten van de grondproeven bekend zijn.

CSC schat dat elke machine die verkocht wordt een winst oplevert van $50000 en dat elke machine die naar Alaska is gestuurd en niet verkocht wordt een verlies van $10000 geeft.

Voor deze situatie stelt CSC een verlies-winsttabel op. Hiernaast is deze tabel voor een deel ingevuld.

Vul de ontbrekende getallen in.

De onzekerheid of de aannemer het contract krijgt en hoeveel machines hij dan wel nodig zou hebben brengt CSC ertoe adviezen van deskundigen in te winnen.
Zij schatten:

aantal machines dat de klant nodig heeft	0	1	2	3	4
kans	0,50	0,10	0,20	0,15	0,05

CSC neemt deze schattingen als uitgangspunt en besluit dát aantal machines te sturen waarbij de verwachtingswaarde van de winst maximaal is.

Bereken hoeveel machines CSC zal sturen.

22.

De twee schijven hiernaast zijn elk in tien even grote sectoren verdeeld. Een gele sector is nul punten waard, een groene 1 punt en een oranje 2 punten.

Om een schijf te mogen draaien moet je 1 euro betalen en je krijgt na afloop het aantal euro van het getal waar de wijzer bij staat.

Hoeveel geld verwacht je bij elk van deze schijven gemiddeld te winnen?

Stel dat je drie keer speelt bij één van beide schijven.
Bij welke schijf is dan de kans het grootst dat je geld hebt gewonnen? Geef een berekening.

23.

Zes kluizenaars leven op een verder onbewoond eiland. Op een dag vindt één van hen een aangespoelde dolfijn, en krijgt daar een besmettelijke ziekte van. De ziekte heet "gezelligheid", en zorgt ervoor dat een kluizenaar op bezoek gaat bij een andere kluizenaar.

Het valt gelukkig mee; de aanval van "gezelligheid" duurt slechts één dag. Daarna is de kluizenaar genezen en immuun geworden. Helaas is de "gezelligheid" wel uiterst besmettelijk gedurende deze dag.
Gedurende zijn besmette dag bezoekt de kluizenaar één andere kluizenaar, die de ziekte dus ook krijgt.

Ook deze tweede kluizenaar bezoekt tijdens zijn besmette dag willekeurig één andere kluizenaar (misschien wel degene die hem net bezocht).
Zo wordt de gezelligheid van kluizenaar op kluizenaar overgedragen totdat een zieke kluizenaar een andere bezoekt die de ziekte al heeft gehad en dus immuun is.

Hoeveel kluizenaars zullen gemiddeld last van "gezelligheid" krijgen?

3,5104

24.

Joop en Arie spelen een oneerlijk dobbelspel.
Joop gooit met een zeskantige dobbelsteen met de cijfers 1 tm 6 daarop, Arie gooit met een achtkantige dobbelsteen met de cijfers 1 tm 8. Degene die het hoogst gooit krijgt het verschil van beide getallen in euro's uitbetaald.

Wat is de verwachtingswaarde van het bedrag dat Arie zal winnen?

1 euro

25.

Alice gelooft dat Obama de komende verkiezingen zal winnen met een kans van 65%
Bob denkt daarentegen dat Obama zal verliezen met een kans van 75%
Jij gaat met beiden een weddenschap aan.

Je stelt Alice voor dat je haar €2,- betaalt als Obama wint, maar dat je van haar in het andere geval €3,- krijgt.

Laat zien dat Alice deze weddenschap zal aannemen omdat zij verwacht gemiddeld erop vooruit te gaan.

Vervolgens stap je naar Bob met het voorstel dat hij €2,- van je krijgt als Obama verliest, maar dat hij in het andere geval jou een bepaald bedrag X moet betalen.

Welke bedragen zal Bob voor X accepteren in de verwachting dat hij gemiddeld geld zal winnen?

Je spreekt met Bob af dat X = €3,-

Laat zien dat jij met deze twee weddenschappen in ieder geval een euro zult winnen!!!!!!

26.

Acht eendenjagers zitten in een schuilhut verborgen. Ze zijn allemaal zulke goede jagers dat elk schot dat ze op een eend lossen raak is!
Op een bepaald moment vliegt er een groep van 8 eenden over. Elke jager kiest willekeurig een eend en schiet er op.
Hoeveel eenden zullen de vlucht gemiddeld overleven?

2,749

27.

Bij een gokspel wordt er één maal geworpen met drie zuivere munten.
De uitbetaling in euro's is het kwadraat van het aantal munten dat met "kop" boven ligt.

Maak een kansverdeling van de uitbetaling.

Hoe groot moet de inzet zijn opdat de winstverwachting per spel €1,20 is?

1,80

28.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 1998.

Crown and Anchor is een oud Engels bordspel. Vroeger werd het veel gespeeld in pubs en op kermissen onder leiding van de zogenaamde playmaster. Het is een simpel gokspelletje.

Het speelbord bestaat uit zes vakken. In ieder vak staat een teken, achtereenvolgens Schoppen, Harten, Ruiten, Klaver, Kroon en Anker.
Zie de figuur hiernaast. Er horen ook nog drie kubusvormige dobbelstenen bij met deze zes tekens op de zijkanten.

Iedereen die wil zet geld in op één van de vakken. De drie dobbelstenen worden gegooid. Winnaars zijn diegenen die ingezet hebben op een van de tekens die de dobbelstenen aangeven. Ze krijgen van de playmaster hun inzet terug plus zoveel maal die inzet als het teken boven kwam.

Er wordt bijvoorbeeld Kroon, Kroon, Klaver gegooid. In dat geval krijgen de kroongokkers in totaal driemaal hun inzet, de klavergokkers tweemaal hun inzet en de overigen zijn hun inzet kwijt.

We bekijken nu het spel van iemand die één shilling zet op Anker.
Hieronder staat een tabel die gedeeltelijk is ingevuld met kansen op het aantal malen Anker in één spel.

aantal maal Anker	0	1	2	3
kans	¹²⁵/₂₁₆	⁷⁵/₂₁₆

Neem deze tabel over en vul hem verder in. Licht je antwoord met berekeningen toe.

We noemen een spel eerlijk als de te verwachten opbrengst gelijk is aan de inzet. Loterijen en spelletjes als Crown and Anchor zijn natuurlijk nooit eerlijk. De organisator, in dit geval de playmaster, moet er aan verdienen.

Bereken met behulp van de tabel de winstverwachting van een speler die één keer één shilling inzet op Anchor.

Zoals bij alle gokspelletjes doen ook over Crown and Anchor de wildste verhalen de ronde. Zo beweert men dat er ooit in een pub in Southampton een serie van 22 worpen (van steeds 3 dobbelstenen) achtereen plaatsvond waarbij elke keer minstens één Anker zat.

Hier volgen drie reacties op dit verhaal:

Dit is onmogelijk. Het verhaal is verzonnen.

De kans op die gebeurtenis is wel heel klein. Als het verhaal waar is, moeten de dobbelstenen onzuiver zijn geweest.

III

De kans op die gebeurtenis is wel erg klein, maar het verhaal kan best waar zijn.

Met welke van deze reacties ben jij het eens? Licht je antwoord toe, onder andere met een berekening van de bijbehorende kans.

29.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2001

Opiniepeilingen worden vaak telefonisch gedaan, maar voor bepaalde soorten enquêtes stuurt een onderzoeksbureau enquêteurs met een vragenlijst op pad.
Wanneer de enquêteur op een adres komt waar niemand thuis is, probeert hij het later voor de tweede keer. Als ook bij het tweede bezoek niemand thuis is, doet hij bij dit adres nog een derde poging. Die derde keer is ook de laatste keer, zelfs als er dan weer niemand thuis is. Uit ervaring weet men dat de kans dat iemand thuis is, de eerste keer het grootst is. Bij de tweede poging is de kans wat kleineren bij het derde bezoek zelfs veel kleiner.
Stel dat bij het eerste bezoek bij 90% van de adressen iemand thuis is. Bij de adressen waar men de eerste keer niet thuis was, is 80% bij het tweede bezoek wel thuis. Op de adressen waar een derde poging nodig is, is bij dat derde bezoek 40% thuis. Zie volgende figuur.

Bereken de kans dat de enquêteur op een adres pas bij het derde bezoek iemand thuis treft.

Het onderzoek wordt gehouden bij 1400 verschillende adressen

Bereken hoeveel keer in totaal een adres zal worden bezocht voor dit onderzoek.

30.

Eindexamenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2007

‘Tientjes’ is een gokspel voor twee personen. Eén persoon is de speler, de ander is de bank.
Er zijn vijf kaarten die aan één zijde met een getal bedrukt zijn: drie met het getal –10 en twee met het getal +10.
Bij het begin van het spel schudt de bank deze kaarten en legt ze van links naar rechts naast elkaar op tafel met de getallen naar beneden.
Het spel gaat als volgt:
De speler kiest één kaart en draait die om.

•

als er –10 op de kaart staat, moet de speler 10 euro betalen aan de bank;

•

als er +10 op de kaart staat, ontvangt hij 10 euro van de bank.

De gekozen kaart wordt weggelegd. De speler besluit of hij stopt of doorgaat. Als hij doorgaat, kiest hij weer een kaart en draait die om, enz. Het spel stopt als de speler geen kaart meer wil omdraaien of als alle vijf de kaarten zijn omgedraaid.

Speler Renske heeft de volgende strategie:

•

Ze stopt met omdraaien als ze in het spel voor de tweede keer een kaart met –10 heeft omgedraaid. Dan weet ze namelijk zeker dat ze niet meer met winst kan eindigen.

•

Ze stopt ook als ze voor de tweede keer een kaart met +10 heeft omgedraaid. Daarna kan haar winst immers alleen maar kleiner worden.

In de volgende tabel staat een onvolledige kansverdeling van de eindresultaten.

Eindresultaat	-20	-10	+10	+20
Kans	³/₁₀	⁴/₁₀		¹/₁₀

Toon het getal ⁴/₁₀ uit de tabel aan.

Toon met behulp van de verwachtingswaarde aan dat Renske met haar strategie per spel gemiddeld 6 euro zal verliezen.

Marlies heeft een andere strategie dan Renske. Nadat Marlies een kaart heeft omgedraaid, draait ze alleen een volgende kaart om als ze op verlies staat.

Onderzoek of de strategie van Marlies beter is.

31.

Eindexamenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2008

Een viervlaksdobbelsteen is een dobbelsteen met de vorm van een regelmatig viervlak. Met zo’n dobbelsteen kun je 1, 2, 3 of 4 gooien. Op de foto zie je de situatie waarin er 1 is gegooid. In deze opgave gaan we uit van een zuivere viervlaksdobbelsteen.

De volgende vragen gaan over een spel met deze dobbelsteen. De inleg is € 2,75. Een speler die het spel speelt, mag een aantal keren met de dobbelsteen gooien. De gegooide cijfers worden bij elkaar opgeteld. Als de speler stopt bij een totaal van 1, 2, 3 of 4, dan krijgt hij dit aantal in euro’s uitgekeerd. Als de speler in totaal 5 of meer gegooid heeft, dan wordt er niets uitgekeerd. Zie de volgende tabel.

Totaal na één of meer worpen	Uitkering	Winst voor de speler
1	€ 1,-	- € 1,75
2	€ 2.-	- € 0,75
3	€ 3,-	€ 0,25
4	€ 4.-	€ 1,25
5 of meer	€ 0,-	-€ 2,75

Iemand wil één keer het spel spelen. Hij hanteert bij zijn spel de volgende strategie. Wanneer hij een totaal van 4 (of meer) heeft bereikt, stopt hij. Zolang het totaal minder dan 4 is, gaat hij door met gooien.

Het totaal van 4 kan op verschillende manieren worden bereikt. Dit kan in één worp maar ook in twee, drie of vier worpen.

Bereken de kans dat hij een totaal van 4 bereikt met deze strategie.

Iemand anders speelt het spel volgens een andere strategie. Zijn strategie is als volgt:

− Als hij bij de eerste worp 1 gooit, gooit hij nog één keer.
− Als hij 2, 3 of 4 gooit, stopt hij.

In de figuur hiernaast is dit schematisch weergegeven. Hij speelt 80 spelletjes met deze strategie.

Bereken hoeveel winst of verlies hij kan verwachten.

32.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2004

Bij vierkeuzevragen staan bij elke vraag vier mogelijke antwoorden: A, B, C en D. Slechts één daarvan is juist. Een kandidaat kan één van de vier antwoorden kiezen of de vraag onbeantwoord laten. Bij keuze van het juiste antwoord wordt 1 punt toegekend, in alle andere gevallen 0 punten. Als een kandidaat absoluut niet weet welk antwoord juist is en welke antwoorden onjuist zijn, doet hij er daarom verstandig aan om toch een antwoord te geven. Dit leidt tot gokgedrag.
Een voorbeeld kan dit verduidelijken. Neem aan dat Tim en Tom, een tweeling, allebei niets snappen van scheikunde. Zij hebben voor een proefwerk dan ook allebei niets geleerd, omdat dat in hun ogen toch geen zin heeft. Bij het proefwerk, dat uit 20 vierkeuzevragen bestaat, vult Tim niets in. Hij heeft dan ook 0 punten. Tom heeft elke vraag gegokt.

Bereken het aantal punten dat Tom kan verwachten.

Er is ook wel eens geopperd om bij een onjuist antwoord strafpunten te geven. Een kandidaat heeft dan twee keuzes: niets invullen levert 0 punten op; wel iets invullen levert 1 punt op bij een juist antwoord en -0,5 punt (0,5 strafpunt) bij een onjuist antwoord.

Bereken de verwachtingswaarde van de score per vraag bij dit strafpunten systeem als een kandidaat gokt.

-0,125

33.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2002

Om te mogen bouwen op een perceel grond is een zogeheten schone-grond-verklaring nodig.
Een onafhankelijke instantie neemt twee grondmonsters van zo'n perceel. Van elk perceel wordt in een laboratorium één monster getest op verontreiniging. Als er geen verontreiniging wordt aangetroffen wordt een schone-grond-verklaring afgegeven voor het betreffende perceel.

Ga in deze opgave uit van de volgende veronderstellingen:
Als de grond van een perceel verontreinigd is, wordt die verontreiniging in elk monster van dat perceel aangetroffen.
De kans dat een perceel verontreinigd is is 1%.
De kansen op verontreiniging voor verschillende percelen zijn onafhankelijk van elkaar.

Het testen van een monster is een kostbare zaak. In plaats van het afzonderlijk testen van de grond van elk perceel worden - om kosten te besparen - de grondmonsters van meerdere percelen bij elkaar gevoegd en als één geheel getest.

Veronderstel dat men grondmonsters van vijf percelen bij elkaar neemt en dit mengsel test. Als er geen verontreiniging in dit mengsel wordt aangetroffen, wordt voor elk van de betreffende percelen een schone-grond-verklaring afgegeven. Als er wel verontreiniging wordt aangetroffen test men van elk van de vijf percelen het tweede monster apart.

Bewijs dat de kans dat men de tweede monsters zal moeten testen, afgerond op drie decimalen, gelijk is aan 0,049

Het nemen van twee grondmonsters van een perceel kost € 20,-. Een test in het laboratorium kost € 150,-.

Toon aan dat de te verwachten kostenbesparing op het onderzoek van vijf percelen grond op deze manier €563,25 is.

Uit de uitkomst van vraag 10 blijkt dat het inderdaad kostenbesparend is om een aantal monsters tegelijk te testen. Men vraagt zich af of een verdere kostenbesparing te realiseren is.
De grondmonsters van n percelen worden bij elkaar genomen.

Bewijs dat de verwachtingswaarde van de kosten per perceel gelijk is aan : 170 + (¹⁵⁰/_n) - 150 • (0,99)ⁿ.

Bereken bij welke waarde van n deze verwachtingswaarde minimaal is.

n = 11

34.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2004

Deze opgaven gaat over krasloten waarmee je 3 euro of 6 euro of niets kunt ontvangen. Elk kraslot heeft drie vakjes die je open kunt krassen. Zie de figuur hiernaast.

In één van de vakjes is een MIN (-) verborgen, in de andere twee een PLUS (+).
Je kunt het kraslot inleveren na één vakje of na twee vakjes te hebben opengekrast. Voor elke opengekraste PLUS ontvang je drie euro, maar als je de MIN hebt opengekrast is het lot waardeloos geworden. Zie de figuur hieronder.

Bij de mensen die krasloten kopen onderscheiden we twee typen krassers:

waaghalzen: krassen een tweede vakje open als het eerste vakje een PLUS oplevert.
angsthazen : krassen één vakje open en stoppen.

Je kunt je afvragen welk type krasser het slimst is.

Bereken voor zowel de waaghalzen als de angsthazen welk bedrag zij naar verwachting per opengekrast lot zullen ontvangen.

beiden 2 euro

Bij een bepaalde kiosk is gebleken dat 65% van de krassers een waaghals is en 35% een angsthaas.
Op zekere dag komen 500 mensen een lot kopen bij deze kiosk en krassen het open.

Bereken hoeveel van deze mensen naar verwachting niets uitbetaald krijgen.

275

35.

In een grote speelhal kun je aan een groot rad van fortuin draaien dat in 4 gelijke sectoren is verdeeld. Drie van de sectoren leveren €5,- op, de vierde levert €12,- op.
Je mag 4 keer draaien en wint het totaal aantal punten in euro’s dat je in die 4 keer hebt gedraaid.

De inleg voor het spel is €30, -

Voor jouw winst geldt dan de volgende tabel:

winst in euro	-10	-3	4	11	28
kans	0,3164	0,4291	0,2109	0,0469	0,0039

Bereken het getal 0,2109 uit de tabel in 6 decimalen nauwkeurig

Is dit een eerlijk spel? Leg duidelijk uit.

Hoe groot is de kans dat je bij 100 zulke spelletjes (van 4 keer draaien) minder dan 60 keer geld verliest?

36.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008.

In een speelhal kun je het volgende spel spelen. In een vaas zitten 7 ballen: 4 witte en 3 zwarte. Een speler doet willekeurig een greep van drie ballen uit de vaas. Voor elke witte bal in zijn greep ontvangt hij 1 euro (en voor een zwarte bal ontvangt hij niets). De inzet die de speler aan de speelhal moet betalen is €1,75 per spel.

Per keer spelen ontvangt een speler dus 0, 1, 2 of 3 euro. De kansen op deze vier mogelijke bedragen zijn achtereenvolgens: ¹/₃₅, ¹²/₃₅ , ¹⁸/₃₅ en ⁴/₃₅ .

Toon aan dat de kans op 2 euro inderdaad ¹⁸/₃₅ is.

Iemand besluit het spel zestien keer te spelen. Hij maakt in een spel winst als hij meer dan €1,75 ontvangt. De kans dat hij tenminste tien keer winst zal maken is groter dan ¹/₂ .

Bereken de kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken.

0,6208

Het lijkt dus wel gunstig voor een speler om het spel te spelen. Maar, schijn bedriegt!

Toon aan dat de speelhal op de lange termijn toch winst zal maken met dit spel.

E = 1,71

37.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2013. (gewijzigd)

Peter en Quinten spelen een dobbelspel. Er wordt gegooid met twee zuivere dobbelstenen, waarbij het niet uitmaakt of Peter of Quinten gooit. Peter krijgt een punt als met beide dobbelstenen hetzelfde aantal ogen (dubbel) wordt gegooid. In alle andere gevallen (niet-dubbel) krijgt Quinten een punt.

Toon aan dat de kans dat Quinten een punt krijgt ⁵/₆ is.

Degene die het eerst een vooraf afgesproken aantal punten heeft, wint het spel. Het is wel duidelijk dat er geen sprake is van eerlijk spel: Quinten heeft vijfmaal zoveel kans op een punt als Peter. Daarom spreken ze af dat Quinten één punt krijgt als er niet-dubbel wordt gegooid, maar dat Peter vijf punten krijgt als er dubbel wordt gegooid.

Neem aan dat Peter en Quinten hebben afgesproken dat degene die het eerst vijf punten heeft, het spel wint.

Toon aan dat de kans dat Quinten dan het spel wint kleiner is dan 0,5.

Bereken de verwachtingswaarde van het aantal worpen dat nodig is totdat er een winnaar is. Rond het antwoord af op één decimaal.

E = 3,6

38.

Op de kermis mag je 3 keer schieten voor €3,50
Het eerste rake schot levert 1 punt op, het tweede daarbovenop nog eens 2 punten en het derde daar bovenop nog eens 3 punten.
Je uitbetaling na afloop is het totaal aantal punten dat je hebt gescoord.
Je weet dat de kans dat jij raak schiet elke keer gelijk is aan 0,62

Maak een kansverdeling en bereken de verwachtingswaarde van jouw winst.

E = 3,6

Welke trefkans (in plaats van 62%) heb je nodig om quitte te spelen?

0,8012

39.

Iemand gooit met vijf keer een muntstuk en telt daarbij het aantal keren KOP.
Hij begint de volgende kansverdeling in te vullen:

aantal kop	0	1	2	3	4	5
kans	0,03125	0,1875

Je kunt nu deze kansverdeling invullen zonder verder kansberekeningen te maken. Leg uit hoe dat kan, en vul de tabel verder in.

40.

Bij het bordspel Istanbul mag je op één van de velden met twee dobbelstenen gooien om geld te krijgen. Je moet van tevoren een bedrag noemen, en als je dat aantal ogen of meer gooit, dan krijg je zoveel geld als je noemde. Als het mislukt, krijg je altijd €2,-

Welk bedrag levert gemiddeld het meeste geld op?

41.

examenvraagstuk VWO wiskunde C, 2015.

In Frankrijk kun je in sommige cafés het kansspel Rapido spelen. Dit spel speel je door getallen aan te kruisen op een formulier. Zie de afbeelding. Van de bovenste 20 getallen (A) kruis je er 8 aan en van de onderste 4 getallen (B) kruis je er één aan.

Nadat de formulieren zijn ingeleverd, worden via een centraal systeem aselect 8 van de bovenste getallen als winnend aangewezen en wordt aselect één van de onderste getallen als winnend aangewezen.

Volgens de organisatie is de kans dat je alle negen getallen goed aankruist 2 op de miljoen.

Laat zien dat deze kans (ongeveer) 0,000002 is.

In onderstaande tabel is aangegeven hoeveel euro je per ingezette euro uitbetaald krijgt en wat de bijbehorende kansen zijn.

Aantal goed in A	4	5	5	6	6	7	7	8	8
Aantal goed in B	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Uitbetaling per euro	1	2	6	10	30	50	150	1000	10000
Kans 1000000	68766	73351	24450	11003	3668	572	191	6	2

Bereken de winstverwachting per ingezette euro bij dit spel.

-0,33

Volgens Wikipedia heeft een speler die 100 keer 1 euro inzet bij Rapido een kans van 0,42% om daarbij precies vijf keer 10 euro uitbetaald te krijgen. Onderzoek met een berekening of deze bewering juist is.

Om een prijs te krijgen, moet je dus 4 of meer van de aangewezen getallen uit A juist aangekruist hebben. Zijn dat er 4, dan moet je bovendien ook het aangewezen getal uit B juist hebben aangekruist. Bij 5 of meer juist aangekruiste getallen in het bovenste gedeelte heb je altijd een prijs.

Volgens de organiserende instantie zijn er ongeveer 100 000 verschillende manieren om een formulier in te vullen die een prijs opleveren

Onderzoek met een berekening of deze bewering juist is.

42.

Ik heb een doos met daarin 6 enveloppen. In drie daarvan zit een briefje van 5 euro, de andere drie zijn leeg.
Jij gaat een dobbelsteen gooien, en het aantal ogen dat je gooit is gelijk aan het aantal enveloppen dat je mag pakken.

Hoeveel geld zul jij gemiddeld krijgen bij dit spelletje?

8,75

43.

Een straatartiest heeft een vaas met 8 rode en 6 groene ballen erin. Voor 4 euro mag je een spelletje spelen, en dat gaat zó:
Je haalt zonder te kijken een bal uit de vaas. Als het een rode is ben je direct al je geld kwijt.

Als het een groene is mag je kiezen:
óf je stopt en krijgt 9 euro.
óf je speelt door en trekt nóg een bal. Is deze rood dan ben je weer alles kwijt, is deze wéér groen dan krijg je 21 euro, en is het spel afgelopen

Bereken wat de slimste tactiek is: helemaal niet spelen, steeds één bal pakken of steeds 2 ballen pakken.

44.

In de laatste ronde van een TV-spel zijn er nog twee kandidaten over die gaan strijden om de eindprijs.

Eerst is kandidaat 1 aan de beurt. Hij mag zo vaak hij wil de schijf hiernaast draaien. Zijn eindbedrag wordt de som van alle bedragen die hij heeft gedraaid, maar zodra dat bedrag boven de 7000 uitkomt krijgt hij niets meer.

Daarna mag kandidaat 2. Die doet precies het zelfde (hij heeft natuurlijk wel het voordeel dat hij al weet dat kandidaat 1 heeft gedraaid)

Wie na afloop het grootste bedrag heeft gedraaid heeft gewonnen en krijgt zijn bedrag. Bij gelijkspel wint kandidaat 1.

Na twee keer draaien staat kandidaat 1 op 5000

Bereken de kans vooraf dat dit zou gebeuren.

0,25

Kandidaat 1 berekent dat de kans dat hij wint als hij nu zou stoppen gelijk is aan ongeveer 0,516

Laat zien dat dat inderdaad zo is.

Kandidaat 1 kan nu kiezen uit twee strategieën:
Hij kan stoppen en hopen dat kandidaat 2 over de 7000 gaat.
Hij kan nog een keer draaien en hopen dat hij zelf op 7000 uitkomt.
Bereken welk van beide strategieën hem gemiddeld het meeste geld zal opleveren.

45.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2017-I (gewijzigd)

In de garage gebruikt men een tabel waarin je kunt aflezen hoe groot de kans p is dat een distributieriem van een auto in het komende jaar defect raakt. Zie de tabel. Je ziet bijvoorbeeld dat iemand die 75000 km gereden heeft met een distributieriem en daarmee het komende jaar 14000 km zal gaan rijden, een kans van 0,39 heeft op een defecte distributieriem.

		verwachte aantal te rijden kilometers (×1000)
		8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
aantal gereden kilometers met distributieriem (×1000)	60	0,01	0,02	0,03	0,04	0,07	0,10	0,13	0,18	0,24	0,31	0,38	0,46
	65	0,03	0,05	0,08	0,11	0,15	0,21	0,27	0,34	0,42	0,50	0,58	0,65
	70	0,08	0,12	0,17	0,23	0,30	0,37	0,45	0,53	0,61	0,69	0,75	0,81
	75	0,17	0,23	0,31	0,39	0,47	0,55	0,64	0,71	0,78	0,83	0,88	0,91
	80	0,29	0,38	0,47	0,56	0,64	0,72	0,79	0,84	0,89	0,92	0,95	0,97
	85	0,42	0,53	0,62	0,71	0,78	0,84	0,89	0,92	0,97	0,97	0,98	0,99

Ineke, die al 60000 km heeft gereden met haar distributieriem en in het komende jaar verwacht 10000 km te rijden, laat de distributieriem vervangen als de kosten van preventieve vervanging lager zijn dan de verwachtingswaarde van de kosten wanneer ze de riem niet laat vervangen.

Zal Ineke haar distributieriem preventief laten vervangen? Licht je antwoord toe met een berekening.

Ineke heeft besloten om haar distributieriem niet preventief te laten vervangen en ze rijdt het daaropvolgende jaar 10000 kilometer zonder problemen. Maar na dat jaar staat ze opnieuw voor de beslissing: preventief laten vervangen of niet?
Ook nu wil ze haar distributieriem preventief laten vervangen als de kosten hiervan lager zijn dan de verwachtingswaarde van de kosten wanneer ze de riem niet preventief laat vervangen. Het aantal te rijden kilometers in het daaropvolgende jaar staat voor haar echter nog niet vast.

Bij een bepaald aantal te rijden kilometers zijn de kosten van preventieve vervanging even hoog als de verwachtingswaarde van de kosten wanneer ze haar distributieriem niet preventief laat vervangen.

Onderzoek bij welk aantal kilometers dit het geval is.

14000 of meer