Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Zoek uit welk model het best past bij de volgende tabel.

x	1	1	2	2	3	3	4	5	6	6	7	9	9	10	11
y	-1,7	-1,5	-0,5	0,4	11	12	37	77	130	138	220	460	465	620	820

Hiernaast zie je een puntenwolk(je).

Probeer aan de hand van de vorm van deze puntenwolk te raden welk model het best bij deze wolk zou passen.

Controleer met je GR je antwoord op vraag a).

Paulien heeft de volgende tabel gevonden door bij 10 x-waarden de bijbehorende y te meten:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	242	205	164	123	105	86	64	52	44	34	27

Zij vermoedt door de vorm van de puntenwolk dat hier sprake is van exponentiële afname.
Laat zien dat ExpReg met deze x-y waarden precies dezelfde vergelijking geeft als LinReg met lny in plaats van y waarbij de x-waarden gelijk zijn gebleven.

De afkoelingswet van Newton zegt dat voor een voorwerp met temperatuur T₀, dat op tijdstip t = 0 in een omgevingstemperatuur O wordt geplaatst, geldt: T(t) = a • e^-kt + O

Leg uit dat deze formule ook te schrijven is als T(t) = a • b^t + O

De snelheid van afkoeling hangt af van de grootte van het verschil tussen de temperatuur van het voorwerp en de omgevingstemperatuur. Als dat verschil kleiner wordt gaat het afkoelen steeds trager.

Leg uit wat daaruit volgt voor de grootte van b.

Voor een omgevingstemperatuur van 20ºC geldt T(t) = a • b^t+ 20
Een onderzoeker meet de volgende tabel voor T en t:

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
T	68	66	61	54	50	48	48	45	40	38	37

Met het eerste en laatste punt uit deze tabel kan de onderzoeker a en b bepalen.
Hij doet dat en vindt afgerond a = 48 en b ≈ 0,9014

Laat zien hoe hij aan die waarden komt.

Bereken de som van het kwadraat van de residuen bij deze formule voor T(t)

Als je de formule verandert in T(t) - 20 = a • b^t kun je uit een tabel van T - 20 en t ook via regressie de constanten a en b vinden.

Voer die regressieanalyse uit, en geef een vergelijking voor T(t).

Bereken hoeveel procent de som van het kwadraat van de residuen door deze tweede methode is gedaald vergeleken met de eerste methode.

Het verband tussen spanning U en stroom I bij een niet-Ohmse weerstand wordt gegeven door U = C • I^β (U gemeten in Volt en I in ampère), met C en β materiaalconstanten. Concrete metingen van U (in V) en I (in mA) levert de volgende resultaten :

I_i	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
U_i	6,90	7,14	7,35	7,53	7,70	7,82	7,97	8,08	8,17	8,27	8,38	8,45

I_i	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
U_i	8,52	8,58	8,66	8,72	8,77	8,80	8,88	8,93	8,97	9,00	9,04	9,12

Bepaal de beste waarden voor C en β aan de hand van deze meetwaarden. Ga na dat de TI deze waarden berekent met een logaritmische transformatie van de data en lineaire regressie.

MEER OPGAVEN

Leg uit waarom je zeker weet dat QuadReg altijd een grotere R² geeft dan LinReg, en CubicReg altijd een grotere R² dan QuadReg, en QuartReg weer altijd een grotere R² dan CubicReg.

Leg uit waarom CubicReg bij een puntenwolk van 4 punten altijd R² = 1 oplevert.
Hoe is dat met LinReg en QuadReg en QuartReg?
Hoeveel punten zouden er dan moeten zijn om R² = 1 op te leveren?

Hieronder zie je van een aantal regelmatige veelhoeken met zijden 1 de straal van de omgeschreven cirkel (dat is de cirkel die er precies omheen past en door alle hoekpunten gaat). Hiernaast zie je die cirkel bij het vierkant.

zijden	3	4	5	6	7	8	9	10	11
straal	0,577	0,707	0,851	1,000	1,152	1,306	1,462	1,618	1,775

Een plot daarvan zie je hiernaast. Het lijkt alsof een lineair model dit verband uitstekend beschrijft. Als je de correlatiecoëfficiënt berekent, dan komt er inderdaad r = 0,9997 uit. Uitstekend dus!
Maar toch….

Teken een residuplot van deze gegevens. Neem window Ymin = -0,02 en Ymax = 0,02.
Leg uit hoe je aan deze residuplot kunt zien dat lineaire regressie toch waarschijnlijk niet de beste methode is

Onderzoek met de determinatiecoëfficiënten welke soort regressie de beste is