Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Er is in de VS onderzoek gedaan naar het aantal sterftegevallen s per 100000 inwoners voor een aantal leeftijden:

leeftijd t	0	4	8	12	18	23	28	32
s	2500	140	75	81	120	220	190	208

leeftijd t	38	48	54	58	68	74	80	90
s	320	805	1400	2040	5060	8810	15200	38100

Zet deze gegevens uit op enkellogaritmisch papier en bepaal vanaf welke leeftijd er sprake is van exponentiële toename. Geef vanaf deze leeftijd s als functie van t

Wat zou volgens deze functie de maximale leeftijd zijn die een mens kan bereiken?

≈ 100 jaar

Hiernaast staat op enkellogaritmisch papier het aantal bacteriën (N) in een hamburger van MacDonalds als functie van de bewaartijd (t in dagen).

Stel een formule voor de aantal N(t) op

Bij de concurrent Hamburgergigant geldt de formule
N(t) = 50 · 3,5^t

Teken de grafiek van Hamburgergigant in de figuur hiernaast.

In hoeveel tijd wordt het aantal bacteriën bij Hamburgergigant 10 keer zo groot?

≈ 1,838 dagen

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1991.

Bij een practicumopdracht heeft een biologiestudent in een experiment de groei onderzocht van een populatie van een speciale vliegensoort. De student startte het experiment met een populatie van 200 vliegen en geen eitjes. Het experiment duurde 24 weken. Met tussentijden van een week telde hij het aantal (levende) vliegen en het aantal eitjes. In de volgende figuur zijn de resultaten van het experiment op enkellogaritmisch papier weergegeven.

Bij welke telling lag het aantal eitjes tussen de 300 en 500?

Vanaf telling 18 liggen de punten van de grafiek van de vliegen vrijwel op een rechte lijn door
(18, 640) en (24, 1120).

Bereken hiermee het percentage waarmee het aantal vliegen in de laatste zes weken gemiddeld per week groeide.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1996.

Twee studenten van de Stetson University hebben het verband onderzocht tussen de jaarlijkse aanvoer van sinaasappels in Florida en de gemiddelde veilingprijzen voor die sinaasappels. Dit leidde tot een model waarmee voorspellingen gedaan kunnen worden over de jaaropbrengst.
Uitgangspunt voor hun model waren de gegevens van de volgende tabel.

Jaarlijkse aanvoer en gemiddelde prijs per kist
aantal kisten in miljoenen	Gemiddelde prijs per kist in dollarcents.
45,6 72,5 82,7 98,9 129,7 139,2 169,7	485 287 266 187 157 121 78

De studenten constateerden op grond van de gegevens van deze tabel dat de gemiddelde prijs (P) per kist in dollarcents bij benadering exponentieel afhankelijk is van het aantal miljoenen kisten (A).

Laat met behulp van logaritmisch papier zien dat deze constatering juist is.

Wanneer er van uit wordt gegaan dat er een exponentieel verband bestaat tussen A en P en dat de grafiek door de punten (75, 300) en (160,90) gaat, kan de gemiddelde prijs per kist bij een aanvoer van 50 miljoen kisten berekend worden.

Bereken deze prijs in dollarcents nauwkeurig.

428

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1999.

Cholesterol speelt een belangrijke rol bij allerlei processen in het menselijk lichaam. Deze stof komt het lichaam binnen via het voedsel, maar wordt ook door het lichaam zelf aangemaakt.
Eind jaren zestig is veel onderzoek gedaan naar het verband tussen cholesterol en hart- en vaatziekten. De Amerikanen Goodman en Noble onderzochten de snelheid van verschillende processen in de cholesterol-huishouding. Ze gingen als volgt te werk: Bij een aantal proefpersonen spoten ze een kleine hoeveelheid radioactieve cholesterol in. Deze vermengde zich vrijwel direct met de reeds aanwezige cholesterol in het bloed en de ingewanden. Daarna werd tien weken lang de radioactiviteit gemeten van de cholesterol in het bloed en de ingewanden van de proefpersoon. De radioactiviteit van de cholesterol in het bloed en de ingewanden neemt in de loop van de tijd af door uitscheiding van cholesterol (uit het lichaam) en door opname van cholesterol uit het bloed en de ingewanden door de rest van het lichaam.
In onderstaande figuur is het resultaat van de metingen bij een proefpersoon weergegeven door middel van een ononderbroken grafiek op enkellogaritmisch papier.

Langs de horizontale as staat t, de tijd in dagen vanaf het moment van inspuiten. Langs de verticale as staat a, de radioactiviteit in microcurie (μCi) per gram cholesterol.

De totale radioactiviteit van de ingespoten cholesterol bedroeg 30 μCi.

Toon aan dat het bloed en de ingewanden van deze proefpersoon in totaal ongeveer 27 gram cholesterol bevatten.

De grafiek van a nadert tot een rechte lijn (de stippellijn uit de figuur). Deze rechte lijn is de grafiek van een functie van t.

Stel een formule op van deze functie.

De grafiek van a ligt boven de genoemde lijn.

Toon aan dat het verschil van beide functies een exponentiële functie is. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2001.

Wageningse onderzoekers hebben zich verdiept in de groei van het aantal bacteriën in voedsel. Bij constante bewaartemperatuur groeit het aantal bacteriën exponentieel. De bijbehorende groeifactor hangt af van die bewaartemperatuur. Bij een krantenartikel hierover stond de volgende grafiek.

In de grafiek wordt de bacteriegroei beschreven in kip die eerst vijf dagen lang bij de producent bij een temperatuur van 0ºC wordt bewaard, en vervolgens in de winkel bij 0ºC (winkel A) respectievelijk 4ºC (winkel B) wordt bewaard.

Toon aan dat bij 0ºC het aantal bacteriën zich per dag meer dan verdubbelt.

In de figuur hierboven is het aanvankelijke aantal bacteriën per gram gelijk aan 1000. De bederfgrens ligt bij 50 miljoen bacteriën per gram. In de figuur is af te lezen dat kip die voortdurend bij 0ºC wordt bewaard, na 14 dagen de bederfgrens bereikt.

Stel dat men in staat is het aanvankelijke aantal bacteriën terug te brengen van 1000 per gram naar 100 per gram. Dit verlengt de houdbaarheid natuurlijk. Voor winkel A duurt het drie dagen langer voordat de bederfgrens bereikt wordt. Voor winkel B, waarbij de kip eerst gedurende vijf dagen bij 0ºC bewaard wordt en daarna bij een temperatuur van 4ºC, geldt een andere verlengingsduur.

Teken voor deze nieuwe situatie in bovenstaande figuur de grafiek voor de bacteriegroei in kip voor winkel B, en lees af hoeveel langer het nu duurt voordat de bederfgrens is bereikt.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2007

In 1968 was Moore één van de oprichters van het bedrijf Intel dat vooral bekend werd door een speciaal soort chip: de processor. De eerste Intel-processor werd gemaakt in 1971. Hij bestond uit ongeveer 2250 transistors.
Men neemt aan dat het aantal transistors van één processor elke twee jaar verdubbelt. De formule die hierbij hoort is:

Hierin is P het aantal transistors van de processor en t het aantal jaren vanaf 1971.

Veronderstel dat, tegen de verwachting van de huidige wetenschappers in, de formule voor P onbeperkt blijft gelden

Bereken het aantal jaren verschil tussen de momenten waarop A en P de grens van 1 miljard (10⁹) overschrijden.

8 jaar

In onderstaande figuur zie je vanaf 1971 de jaren en de aantallen transistors van de verschillende processors die Intel gemaakt heeft tot het jaar 2003, bijvoorbeeld de 4004-processor, de 8008 processor en de Pentium-processors.
Merk op dat de stapgrootte op de verticale as steeds groeit met een factor 10. Men heeft de logaritme van het aantal transistors uitgezet tegen het jaar waarin de processor werd gemaakt. op de schaalverdeling staan echter wel de oorspronkelijke aantallen weergegeven.

De blauwe lijn in deze figuur hoort bij de eerder genoemde formule voor P.
Deze lijn begint met de 2250 transistors van de 4004-processor. Bij deze rechte lijn hoort een formule van de vorm log(P) = a • t + b.
Je kunt deze formule vinden door uit te gaan van de formule P = 2250 • 2^0,5t

Bereken de waarden van a en b door de laatste formule te herleiden. Rond af op twee decimalen.

0,15 en 3,35

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2006

Om voedingswaren tegen bederf te beschermen worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden. In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is 121 ºC. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld zullen er meer bacteriën overleven. In onderstaande figuur zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus.

Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op 1 miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft.
Bij de grafiek uit bovenstaande figuur hoort een formule van de vorm: N_t = 10⁶ • 2^{-r •}^t
Hierin is N_t het aantal bacteriën na t minuten en is r de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën.

Met behulp van bovenstaande figuur kun je berekenen dat de sterftefactor r van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan 2,2.

Toon dat met een berekening aan.

De D-waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot 10% van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de D-waarde afhankelijk van de soort bacteriën.

Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de D-waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze D-waarde kunt controleren met bovenstaande figuur.

1,5

Men heeft ook van andere bacteriën de D-waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze D-waarde gelijk aan 2,55 minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor de overlevingsgrafiek beginnen we weer met 1 miljoen bacteriën.

Teken deze overlevingsgrafiek in bovenstaande figuur. Licht je werkwijze toe.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008

Honing bestaat grotendeels uit vocht en suikers en voor een klein gedeelte uit andere stoffen zoals enzymen en mineralen. De kwaliteit van honing hangt onder andere af van de concentratie van het enzym diastase: hoe meer diastase, hoe beter de kwaliteit van de honing. De concentratie van diastase in honing wordt aangeduid met het diastase-getal.

Door het bewaren van honing gaat er diastase verloren en neemt dus het diastase-getal af. De snelheid waarmee dat gebeurt, hangt af van de temperatuur waarbij de honing wordt bewaard. Een maat waarmee de afname van het diastase-getal kan worden weergegeven, is de zogeheten halfwaardetijd. Dat is de tijd waarin het diastase-getal wordt gehalveerd. In figuur 3 zie je deze halfwaardetijd uitgezet tegen de temperatuur waarbij de honing wordt bewaard.

Wat is beter: honing bewaren bij een lage temperatuur of bij een hoge temperatuur? Licht je antwoord toe en maak daarbij gebruik van figuur 3.

Soms gaat honing versuikeren. Er ontstaan dan suikerkorrels op de bodem van een pot honing. Versuikerde honing wordt weer vloeibaar door de honing te verhitten.
In figuur 3 zie je dat het diastase-getal gehalveerd wordt als honing 24 uur lang op een temperatuur van 60 °C wordt gehouden. Een partij honing met diastase-getal 27 wordt 7 uur lang op een temperatuur van 60 °C gehouden. We gaan ervan uit dat de afname van het diastase-getal exponentieel verloopt.

Bereken het diastase-getal na deze 7 uur.

22,057

Het diastase-getal is bij de meeste soorten honing direct na winning niet hoger dan 30. Als het diastase-getal lager is dan 8, mag de honing alleen nog maar als bakkershoning verkocht worden.
Een bepaald type honing heeft bij winning diastase-getal 28. Deze honing wordt gedurende 3 jaar bewaard bij een temperatuur van 25 °C. We gaan er nog steeds van uit dat de afname van het diastase-getal exponentieel verloopt.

Laat met behulp van de grafiek in de figuur zien dat deze honing na 3 jaar bakkershoning is geworden.

10.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2013

In Vlaanderen is onderzoek gedaan naar het aantal sterfgevallen voor verschillende leeftijden. In onderstaande figuur zie je het aantal sterfgevallen per 10000 mannen in Vlaanderen in het jaar 1971 en in het jaar 1999.

De verticale schaalverdeling in de figuur is logaritmisch. Voor mannen ouder dan 35 jaar verloopt de grafiek in de figuur die hoort bij 1999 ongeveer volgens een rechte lijn door de punten (35, 10) en (80, 1000).
Voor dit gedeelte geldt daarom het volgende exponentiële verband: M_t = b • g^t

Hierin is M_t het aantal mannen met een leeftijd van t jaar die in 1999 overleden per 10000 mannen van t jaar.

Bepaal de waarde van b en g in deze formule. Rond je antwoorden af op drie decimalen.

0,278 • 1,108^t

11.

Hieronder zie je de bevolkingsgroei van Utrecht en Eindhoven voor de periode 1900 - 1970 in beeld gebracht. Op de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt.

Het eerste deel van de grafiek van Utrecht is ongeveer een rechte lijn. Geef een vergelijking die daarbij hoort.

In het begin lijkt het inwoneraantal van Eindhoven sterker te stijgen dan later.
Leg duidelijk uit waarom dat niet het geval is.

In de middenperiode 1930-1950 zijn de grafieken (bijna) evenwijdig.
Betekent die evenwijdigheid dat het verschil in inwoners gelijk is gebleven?
Betekent die evenwijdigheid dat de verhouding tussen de inwoneraantallen gelijk is gebleven?

Wat betekent die evenwijdigheid eigenlijk wél?

12.

Examenopgave Havo, Wiskunde A, 2018.

Bij een aardbeving kan de hoeveelheid vrijgekomen energie worden berekend met de formule

E = 0,06 • 32^R

In deze formule is R de kracht van de aardbeving op de schaal van Richter en E de hoeveelheid vrijgekomen energie in MJ (megajoule).

Na een zware nachtelijke aardbeving met een kracht van 6,3 op de schaal van Richter in de nacht van 5 op 6 april 2009 in Italië waren er nog verschillende kleine naschokken. Bij de naschok van 7 april ’s avonds was de hoeveelheid energie die vrijkwam slechts 9% van de hoeveelheid energie die bij de zware nachtelijke aardbeving vrijkwam. Toch was deze naschok ook een zware schok.

Bereken welke kracht deze naschok had op de schaal van Richter. Rond je antwoord af op één decimaal.

5,6

Teken op enkellogaritmisch papier de grafiek van E voor bevingen met een kracht van minimaal 1 en maximaal 8 op de schaal van Richter.

13.

Examenopgave VWO, Wiskunde C, 2018-I.

Grauwe ganzen eten gras en kunnen daardoor schade aan weilanden veroorzaken. Om die reden wordt er veel onderzoek gedaan naar de toename van het aantal grauwe ganzen in Nederland en de mogelijkheden om die toename te beperken.

In de figuur is het aantal broedparen van de grauwe gans in Nederland weergegeven voor de jaren 1971 tot en met 1998. Je ziet dat het aantal broedparen snel gegroeid is in deze periode. De verticale as in de figuur heeft een logaritmische schaalverdeling. Het derde punt van de grafiek, horend bij het jaar 1973, ligt tussen 10 en 100.

Bereken met behulp van de figuur het aantal broedparen in 1973.

Voor de periode 1983-1998 kan de grafiek benaderd worden met een rechte lijn. Omdat de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft, betekent dit dat het aantal broedparen in die periode in werkelijkheid bij benadering exponentieel groeide. Het aantal broedparen van de grauwe gans nam toe van 220 broedparen in 1983 tot 5000 in 1998. Na 1998 nam het aantal verder toe: in 2012 waren er 83000 broedparen. We vragen ons af of de exponentiële groei in de periode 1983-1998 zich na 1998 op dezelfde wijze voortgezet heeft.

Onderzoek of het aantal van 83000 in 2012 past bij een gelijkblijvende exponentiële groei.

14.

Examenopgave Havo, Wiskunde A, 2021-III.

Langs de Nederlandse kust wordt dagelijks op verschillende plaatsen en op verschillende momenten de waterstand gemeten. Op het moment dat de waterstand op een bepaalde plaats niet verder meer toeneemt, is er op die plaats sprake van hoogwater. De waterstand die op dat moment gemeten wordt, noemen we de hoogwaterstand. Extreme hoogwaterstanden zijn een gevolg van bijvoorbeeld een zware storm.
Men heeft gedurende een lange periode de hoogwaterstanden geregistreerd en daarbij onder andere gekeken naar het aantal keer dat de hoogwaterstand hoger is dan een bepaalde waterhoogte W (in meter boven NAP). Dit wordt de overschrijdingsfrequentie f genoemd; deze frequentie wordt uitgedrukt in aantal keer per 10000 jaar. Er blijkt een exponentieel verband te bestaan tussen de overschrijdingsfrequentie f en de waterhoogte W.

In de figuur is voor de plaatsen Hoek van Holland (HvH) en Vlissingen (VL) de zogenaamde overschrijdingsfrequentielijn getekend. De overschrijdingsfrequentie f is uitgezet tegen de waterhoogte W. De verticale as heeft een logaritmische schaalverdeling. Je kunt in de figuur aflezen dat in Hoek van Holland de hoogwaterstand gemiddeld 600 keer per 10000 jaar hoger is dan 3 meter boven NAP en gemiddeld 1 keer per 10000 jaar hoger is dan 5 meter boven NAP.

Met behulp van de overschrijdingsfrequentie kun je schatten hoeveel keer een bepaalde hoogwaterstand in de toekomst zal worden overschreden.

Geef op deze wijze een schatting van het aantal keer per 100 jaar dat de hoogwaterstand in Vlissingen hoger zal zijn dan 4 meter boven NAP. Licht je antwoord toe

5 keer

Bij de rechte lijnen in de figuur horen formules van de vorm f = b • g^W .
De grafiek van Hoek van Holland gaat door de punten (3, 600) en (5,1) .
Hieruit volgt voor Hoek van Holland het volgende verband tussen de waterhoogte W en de overschrijdingsfrequentie f :

f = 8,8 • 10⁶ • 0,041^W

Hierin is de groeifactor in drie decimalen gegeven.

Bereken met behulp van beide gegeven punten de groeifactor in vier decimalen.

0,0408

In de figuur kun je zien: hoe hoger de waterhoogte W, hoe lager de overschrijdingsfrequentie f. Om de overschrijdingsfrequentie te halveren, moet de waterhoogte dus hoger worden.

Onderzoek voor Hoek van Holland hoeveel hoger de waterhoogte moet worden om de overschrijdingsfrequentie te halveren. Geef je antwoord in meter en in één decimaal.

21 cm

In de figuur is de overschrijdingsfrequentie van Vlissingen bij elke waterhoogte groter dan die van Hoek van Holland. Er is een waterhoogte waarbij de overschrijdingsfrequentie in Vlissingen 10 keer zo groot is als die in Hoek van Holland.

Bepaal met behulp van de figuur bij welke waterhoogte dit het geval is. Licht je werkwijze toe en geef je antwoord in meter en in één decimaal.

4,6

15.

Examenopgave VWO Wiskunde A 2023-I

De Vlinderstichting in Nederland houdt jaarlijks vlindertellingen. Het totaal aantal vlinders is in de periode 1992–2017 met 40% afgenomen. Hierbij vermoedt men een exponentiële trend.

Bereken de jaarlijkse procentuele afname in deze periode, uitgaande van de exponentiële trend. Geef je antwoord in één decimaal.

2,0%

De heivlinder is een van de vlindersoorten heivlinder waarvan het aantal sterk is gedaald.
Zie onderstaande figuur.

In deze figuur is op de verticale as een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Op deze as is niet het aantal heivlinders maar de populatie-index weergegeven. Deze index geeft het percentage heivlinders aan ten opzichte van het totaal aantal heivlinders in 1992. De populatie-index van het jaar 1992 is dus 100. In 1995 is de populatie-index weer (ongeveer) 100. Met andere woorden: in 1995 waren er (ongeveer) evenveel heivlinders als in 1992.

Nadat het aantal heivlinders vanaf 2003 stabiel leek en zich in de periode 2011–2013 zelfs wat leek te herstellen, was 2017 weer een rampjaar voor de heivlinder.

Bereken met behulp van de figuur het percentage heivlinders in 2017 ten opzichte van het aantal heivlinders in 1992. Geef je antwoord in één decimaal.

6,3%

In de volgende figuur zie je dezelfde grafiek als in de figuur hierboven, maar nu is een trendlijn toegevoegd.

De trendlijn in deze figuur hoort bij een exponentieel model voor de afname van de populatie-index. De trendlijn kan worden beschreven met de volgende formule:

log(P) = -0,026t + 1,8

Hierin is P de populatie-index en is t het aantal jaren na 1992. Als de trend zich op dezelfde manier blijft doorzetten, zal het aantal getelde heivlinders in een gegeven jaar minder dan 2% zijn van het aantal getelde heivlinders in 1992.

Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven formule voor het eerst het geval zal zijn.

2050