h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Matrix van een Lineaire Afbeelding.
       
Stel dat we een basis E = {e1, e2, ..., en} van een vectorruimte hebben.
Als we dan een lineaire afbeelding  f :  V  → W bekijken dan is deze afbeelding geheel bepaald door de beelden van de basisvectoren  {f(e1), f(e2), ..., f(en)}
Immers als  v = c1e1 + c2e2 + ... + cnen  dan is   f(v) = f(c1e1 + c2e2 + ... + cnen) = c1f(e1) + c2f(e2) + ... + cnf(en)

Elk van die beeldvectoren f(ei) bestaat uit  m  kentallen.
Om het beeld van een willekeurige vector v te bepalen hebben we dus n vectoren met elk m kentallen  nodig.
Die  mn  getallen gaan we overzichtelijk in een matrix schrijven, op de volgende manier:  
       

       
Als je de vector v als een kolomvector C noteert en de matrix zoals hierboven dan geldt dus eenvoudig  f(v) = AC.

Voorbeeld 1 .
Er wordt  een lineaire afbeelding toegepast op het platte vlak, zodat  punt  (0, 1) terechtkomt in  (5, 4) 
en  punt (1, 0) in  (2, 2).  Geef het beeld van punt  (-5, 2)

Nogal omslachtig genoteerd gebeurt er dit:

 
Handiger genoteerd met zo'n matrix gebeurt er dit (de kolommen van de matrix bestaan uit de beelden van de eenheidsvectoren):

 
Het beeld van  (-5, 2)  is dus  (0,-2)
       
Voorbeeld 2.

Welke matrix A hoort er bij een rotatie in het platte vlak rond de oorsprong om hoek j
Bereken het beeld van  punt  (4, -2) bij een hoek van 30.
       
Zoek gewoon de beelden van de basisvectoren op.
Hiernaast zie je dat:

Het beeld is het punt  (1 + 2√3, 2 - √3)
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)