Vergelijkingen met logaritmen
       
Om logaritmische vergelijkingen op te lossen zijn er eigenlijk twee mogelijkheden:
       
1.   Maak ervan  glogx = a  dan  volgt daar direct uit  x = ga
       
2.  Maak ervan  glog(a) = glog(b)  dan mag je de glog weglaten dus dan geldt  a = b
       
Wat je eigenlijk bij beide methoden doet is van beide kanten van de vergelijking  g.....   te  nemen. Een soort balansmethode, maar dan met tot-de-macht. Door dat  g.....  valt dan die glog weg.

Van beiden maar even een voorbeeld:
       
Voorbeeld 1:   Los op:   2 • 3logx + 3log(2x) = 4
Oplossing:
 2 • 3logx + 3log(9x) = 4
3log(x2) + 3log(9x) = 4   (rekenregel uit de vorige les)
3log(9x3) = 4   (rekenregel uit de vorige les)
9x3 = 34 = 81  (beide kanten tot-de-macht-3 nemen)
x3 = 9
x = 91/3
       
Voorbeeld 2:   Los op:   2logx = 2log(x - 1) + 2log(5)
Oplossing:
2logx = 2log(x - 1) + 2log(5)
2logx = 2log((x - 1)×5))   (rekenregel uit de vorige les)
x = 5(x -  1)   (beide kanten tot-de-macht-2 nemen)
x =  5/4
       
Bedenk goed dat de grondtallen wel steeds gelijk moeten zijn.
Wat je moet doen als dat niet zo is zien we in een volgende les.

Een gewoon getal is ook een log!
       
Om beide kanten van een vergelijking te kunnen schrijven als glog(....) is het soms handig om van gewone getallen ook logaritmen te maken.
Dat is gelukkig erg makkelijk als je maar bedenkt dat glogx  en  gx  elkaars omgekeerde zijn.
Zo is  3log(32)  gelijk aan 2 omdat die macht en die log elkaar opheffen
En ook  5log(54) = 4  en  2log(213) = 13    en ga zo  maar door.
Dus andersom kun je van een gewoon getal erg makkelijk een logaritme maken:
3 = 7log(37)  en  3,5 = 4log(43,5)   enz,
       

a  =  glog(ga)
       
Denk om het domein!
       
In de vorige les zagen we dat logaritmen alleen bestaan als het deel onder de log positief is.
Dat betekent dat je de antwoorden van je oplossingen altijd moet controleren.
De antwoorden die de logaritme van een negatief getal opleveren vallen af.
       
Voorbeeld 3:    Los op:   5log(x) + 5log(2x) = 2 + 5log(0,5x)
Oplossing:
5log(x) + 5log(2x) = 2 + 5log(0,5x)
5log(2x2) = 2 + 5log(0,5x)
5log(2x2) = 5log(52) + 5log(0,5x)
5log(2x2) = 5log(12,5x)
2x2 = 12,5x
2x2 - 12,5 = 0
x(2x - 12,5) = 0
x = 0  ∨  x = 6,25
Maar x = 0 valt af want dat geeft een negatieve logaritme.
De oplossing is dus  x = 6,25.
       
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Los algebraïsch op:
         
  a. 4 + 2 ×  3logx = 15 -  3log(9x) d. 1 + 4log(3x) = 2 × 4log(x)
         
  b. 1/2 • 2log(x) = 2log(x) - 2log7 e. 0,5log(x - 1) = 0,5log(x) - 2
         
  c. 2 • log(x) = 2 + log(x + 24) f. 3 + 2log(x + 4) = 2log(x + 80)
         
2. De functie f is gegeven door  f(x) = 2log(x + 8).
De grafiek van f snijdt de x-as in punt B en de y-as in punt A.
Verder is l de lijn door A en B.
Zie de figuur.

Stel op algebraïsche wijze een vergelijking op voor l.

         
3. De functie f wordt gegeven door:   f(x) = 3log(2x2 - 2x + 1)
In de volgende figuur is de grafiek van f weergegeven
         
 

         
  De grafiek van f  lijkt geen verticale asymptoot te hebben. De grafiek van de standaardfunctie y = 3log(x) heeft wél een verticale asymptoot.
         
  a. Bewijs dat de grafiek van f inderdaad geen verticale asymptoot heeft.
         
  Gegeven is het punt P(-3, 0)

De grafiek van f wordt over een afstand p naar links verschoven. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie g.
Er zijn twee waarden van p waarvoor de grafiek van g door P gaat. Zie onderstaande figuur.
         
 

         
  b. Bereken exact deze twee waarden van p.
         
 
 
4. Elk jaar hebben we weer vaak last van vliegende mieren.
Ze lijken zomaar ineens met z'n allen ergens in de lente te verschijnen, maar zijn dan ook weer ineens in de herfst verdwenen.

Een bioloog stelt voor het aantal vliegende mieren in een bepaald gebied het volgende model op:

M(t)  =  1500 × 3log(400t - t2 - 30000)

         
  Daarin is t de tijd in dagen  (met t = 0 op 1 januari)  en M het aantal vliegende mieren per km2 in het gebied.
De formule geldt uiteraard alleen voor zover M positief is.
         
  a. Voor welke waarden van t is de formule geldig? Geef je antwoord in dagen nauwkeurig.
         
  b. Bereken algebraïsch wanneer er 12000 mieren per km2 in het gebied zijn.
         
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)