Het snijpunt van twee rechte lijnen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hiernaast zie je de grafieken van y1 = 2x + 6  en  y2 = 5x - 4.
Die lijnen snijden elkaar in een punt S (zie hiernaast).
We zijn op zoek naar de coördinaten van dat snijpunt (de vraagtekens in de figuur hiernaast).

Dat kunnen we berekenen door de volgende vraag te beantwoorden:
voor welke waarde van x zijn de bijbehorende waarden van y in beide formules gelijk?

Het antwoord daarop is simpel:  als de y-waarden gelijk moeten zijn bij dezelfde x, dan moet gelden:  y1 = y2
ofwel:  2x + 6 = 5x - 4.
Een erg belangrijke conclusie:
Je vindt de x van het snijpunt van twee grafieken door hun formules aan elkaar gelijk te stellen!!!
Zó belangrijk dat ik hem voor de zekerheid nóg een keer noem:
Je vindt de x van het snijpunt van twee grafieken door hun formules aan elkaar gelijk te stellen!!!
Dus 2x + 6 = 5x - 4.
Nu kun je x met de balansmethode vinden:  2x + 6 = 5x - 4  ⇒  -3x = -10  ⇒   x = -10/-3 = 31/3.

De y van het snijpunt vind je daarna door deze x in één van beide formules in te vullen.
(Als je een erg wantrouwend type bent, dan vul je de x in beide formules in om te kijken of er wel dezelfde y uitkomt).
Dat geeft   y = 2 • 31/3 + 5 = 112/3    (of  y =  5 • 31/2 - 4 = 112/3)
Het snijpunt is kennelijk  (31/3, 112/3).
1.  Bereken het snijpunt van de volgende lijnen:
a. y = 2x + 8  en  y = -4x - 5
(-21/6, 32/3)
b. y = 3x + 6  en  y =  7x  

(11/2, 101/2)

c, y = 5 - 2,5x  en  y =  4x + 9

(-8/13,67/13)

d. y = 6  en  y = -12x + 3  

(-1/4, 6)

2. Twee ladders staan in een nauwe steeg die 12 meter breed is. Elke ladder staat van de voet van de ene muur schuin door de steeg tegen de andere muur. Ze vormen zo samen een X-vorm (zie figuur).
De ene ladder is 13 meter lang, en de andere 20 meter

Op welke hoogte raken de ladders elkaar?

 

     

80/21 meter

3. Op mijn 11e verjaardag plantte ik een boompje dat toen 90 cm hoog was. Dat boompje zal in 4 jaar groeien tot 270 cm. Ikzelf was 135 cm toen ik het plantte, en op mijn 15e ben ik 165 cm.
Als het boompje en ik beiden lineair groeien, wanneer zijn wij dan even lang?
     

als ik 121/5 ben.

4. De leraren van het HHC zijn erg milieubewust en rijden daarom vaak met elkaar naar school. Er bestaat een uitgebreid carpool systeem.
Docent Bouwman ontdekt echter dat zijn auto wel meer benzine verbruikt als er veel mensen meerijden. Dat komt natuurlijk omdat zijn auto dan zwaarder is. Hij experimenteert wat, en komt al gauw tot de volgende tabel:
K
extra gewicht
in kg
B
bereik
in km/liter
70 19,2
100 18,0
120 17,2
180 14,8
190 14,4
Daarin is K het extra gewicht in kg (Bouwman zelf niet meegeteld dus), en B het bereik van de auto (het aantal km dat je met één liter benzine kunt rijden).
a. Laat zien dat er een lineair verband tussen K en B bestaat en schrijf B als functie van K.

V = 22-0,04K

neem voor de rest van deze opgave aan dat geldt  B = 21 - 0,05 • K
b. Dinsdags rijdt alleen collega de Wilde mee. Als Bouwman terloops begint over de hoge benzineprijs zegt de Wilde: "Ach als ik bij je inzit is je bereik B slechts 15% lager dan als je alleen rijdt."
Bereken met deze gegevens hoeveel de Wilde weegt.
   

63 kg

c. "Maar de kosten nemen niet 15%, maar 18% toe," klaagt Bouwman.
Bereken dit percentage nauwkeuriger (2 decimalen).
   

17,65%

5. a. De drie lijnen:
y = 3x + p
y =
2x - 4
y = 8 + 6x
blijken door één punt te gaan.  Bereken p
   

p = -1

  b. De drie verschillende lijnen:
y = 5x + q
y
= qx + 5
y = x + 7
blijken door één punt te gaan.  Bereken q
   

q = 3

     
6. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1990.
     
  Oudheidkundigen proberen informatie te krijgen over de voedselsituatie van vroegere bewoners van een nederzetting. Uit botjes in afvalputten blijkt welke dieren men vroeger at en soms ook hoeveel. Niet is bekend hoeveel voedsel een rund uit die tijd opleverde, maar daarover zou de grootte van het dier informatie kunnen geven.
Als maat voor de grootte neemt men de schofthoogte (zie figuur). Meestal ontbreken er botten die nodig zijn om de schofthoogte te bepalen. Vaak treft men wel een middenvoetsbeentje (metacarpus) aan.
     
 

         
  Men heeft voor twee runderrassen, A en B, kunnen vaststellen dat er tussen de metacarpus en de schofthoogte een verband bestaat. Dat verband verschilt per ras.
Onderstaande grafiek geeft het verband tussen de schofthoogte (s) en de lengte van de metacarpus (m) voor ras A.
         
 

     
  a. Stel een formule op die bij deze grafiek past.
   

s = 2m + 75

  Voor ras B geldt de formule  s = 5m + 16  (5 m ≤ 25)
     
  b. Teken in de figuur hierboven ook de grafiek van ras B.
     
  c. Bereken in millimeters nauwkeurig bij welke waarde van m de schofthoogten van beide rassen gelijk zijn.
   

m = 197

  In theorie zou bij opgegeven waarden van m en s van een dier vastgesteld kunnen worden of het een dier van ras A of van ras B betreft, met uitzondering van de situatie zoals bedoel in vraag 12.
In werkelijkheid is het verband tussen de lengte van de metacarpus en de schofthoogte niet zo precies als de formules aangeven.
We nemen aan dat bij elke lengte van de metacarpus de schofthoogte kan variëren van 2 cm onder de aangegeven waarde tot 2 cm erboven.
     
  d. Bepaal met behulp van de grafieken hierboven bij welke lengten van de metacarpus er problemen kunnen optreden bij het vaststellen van het ras.
     
Ongelijkheden.
 
Laten we nogmaals beide lijnen hierboven nemen:   y1 = 2x + 6  en  y2 = 5x - 4.
We zagen al dat  y1 = y2 als oplossing heeft  x = 31/3  (en y = 112/3).
Maar nu is de vraag:  Los op:  2x + 6 > 5x - 4, ofwel:

Los op:   y1 > y2

Dat is dezelfde vraag als: 

"Voor welke x-waarden is de bijbehorende y1 groter dan de bijbehorende y2?"


Er zijn maar liefst DRIE methoden op dat op te lossen.
Hou je vast:
methode 1:  Met de grafiek.
Bekijk de grafiek hiernaast. We hadden al gevonden dat het snijpunt ligt bij  x = 31/3. En in een eerste opwelling zou je misschien zeggen dat dan nu moet gelden  x > 31/3.
Maar in de grafiek hiernaast zie je dat dat niet klopt.
y1 > y2 betekent:  de lijn van y1 ligt in de grafiek boven die van y2. Je ziet hiernaast dat dat zo is bij het rode deel van die lijn.
En daarbij horen de blauwe x-waarden!!!

Conclusie: de oplossing is  x < 31/3

met intervalnotatie:   , 31/3

methode 2:  Met een getallenlijn.
Deze methode is wat luier dan de vorige: in plaats van de hele grafiek tekenen we alleen de x-as! We weten dat het grensgeval was  x = 31/3 dus dat zetten we erop.
En nu proberen we gewoon een x aan de ene kant van 31/3 en een x aan de andere kant van 31/3. 
Daarvoor testen we of geldt dat 2x + 6 > 5x - 4.

Als het klopt zetten we "JA" boven de lijn en als het niet klopt  :"NEE".
Neem bijvoorbeeld x = 2. Dat geeft  2 • 2 + 6 > 5 • 2 - 4  ofwel  10 > 6. Dat klopt, dus daar staat JA.
Neem daarna bijv. x = 4. Dat geeft  14 > 16 en dat klopt niet, dus daar staat NEE.
Het antwoord op de vraag is nu gewoon het stuk van de x-as waar JA staat, dus   , 31/3 〉  
methode 3:  Algebraïsch.

2x + 6  > 5x - 4
2x > 5x - 10
-3x > -10
x < -10/-3 = 31/3.

Dus wederom  〈 , 31/3
Het gevaarlijke moment is van regel 3 naar regel 4. Als je beide kanten met een negatief getal vermenigvuldigt (of door een negatief getal deelt) dan draait het teken om!!!

≥  ipv  >
Wat verandert aan bovenstaand verhaal als er niet > stond, maar ?
Nou, dat betekent dat de waarde van x waarvoor precies geldt dat 2x + 6 = 5x - 4  ook nog mag. Dat betekent in het voorbeeld dat 31/3 nu óók bij de oplossing hoort.
De oplossing zou dan worden   x ≤ 31/3 ofwel    , 31/3]
7. Los op, en geef je antwoord met de intervalnotatie:
         
a. 6 - 3x < 2x + 8 c. 4 - 3x  ≤  9x + 2
         
b. 5x + 3  ≥  12 - 7x d. 6x + 12  > -4x - 19
8. In de grafieken hiernaast staan de kosten voor een  mobiele telefoon bij drie aanbieders.

a. Welke aanbieder rekent de laagste kosten per belminuut?
b. Stel voor elke aanbieder een vergelijking op voor de kosten als functie van het aantal belminuten en bereken vervolgens welke aanbieder bij welk aantal minuten het goedkoopst is.
Een nieuwe aanbieder richt zich op mensen die veel bellen. Deze aanbieder vraagt een basisbedrag van €30, -
c. Hoeveel moet men per belminuut vragen om vanaf 100 belminuten de goedkoopste te zijn?

< 0,05

9. Een jogger begint op t = 0 hard te lopen. Hij loopt met constante snelheid van 12 km/uur.
Een tweede jogger begint op t = 15 (t in minuten) het zelfde parcours te lopen, maar deze jogger loopt met een constante snelheid van 14 km/uur.
Stel formules op voor de afgelegde afstand als functie van de tijd voor beide joggers en bereken daarmee algebraïsch voor welke tijdstippen de eerste jogger vóór de tweede zal lopen..
   

0-105

     

10.

Een werknemer wil in verband met zijn nieuwe baan gaan verhuizen van Groningen naar Maastricht. Daarvoor zoekt hij een verhuisbedrijf. Hij heeft berekend dat alles wel in één verhuiswagen kan, en leest de offertes van drie verhuisbedrijven. Het betreft de bedrijven Budget Verhuisservice,  Mast BV en  Nieuwenhuis Verhuizingen.
Elk bedrijf vraagt voor het gebruik van een verhuiswagen een vast bedrag per dag. Verder komt daar nog bovenop een bedrag per kilometer.
Budget Verhuisservice vraagt voor de wagen €400,-  en verder per km nog €2,50.
Mast BV  vraagt voor de wagen €550,- en verder per km nog €1,60.
Nieuwenhuis Verhuizingen  vraagt alleen een kilometervergoeding:  de eerste 100 km  kost een verhuizing €7,-  per km en elke km daarboven kost het €1,50,- per km.

     
  a. Stel formules op voor de totale vervoerkosten K als functie van de afstand a.
     
  b. Bereken bij welke afstanden welk bedrijf het goedkoopst is.
     
     
11. Een automobilist wil een nieuwe auto gaan kopen, maar hij twijfelt nog tussen een auto die rijdt op benzine en een auto die rijdt op LPG (gas). LPG is goedkoper: het kost per liter  €0,98  terwijl benzine per liter €1,75 kost.
De auto die hij op het oog heeft rijdt op benzine 1 op 14, en met LPG 1 op 11 (dat betekent dat met 1 liter benzine 14 km gereden kan worden en met 1 liter LPG 11 km).
Maar de wegenbelasting per jaar is voor benzine €430,- en voor LPG  €910,-.
Stel dat de automobilist per jaar k kilometer rijdt.
     
  a. Stel formules op voor de totale kosten per jaar als functie van k.
     
  b. Bereken bij welke aantallen kilometers per jaar de automobilist het best de LPG auto kan nemen.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)