© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Driedimensionale Lineaire Afbeeldingen
       
Ook in 3  kun je natuurlijk vermenigvuldigingen, Spiegelingen, Rotaties en Projecties uitvoeren.
De (kolom)vectoren hebben dan 3 kentallen en de matrices zijn 3 ◊ 3.  Het is weer zo dat de beelden van de basisvectoren precies de kolommen van de matrix zijn. Niks nieuws onder de zon.

Voorbeeld.   Geef de matrix voor draaiing over 45
° om de z-as.

Bekijk de drie beelden van de basisvectoren:

   

       
Afbeeldingen van 3  naar 2
       
Dat zijn dus projecties!

De ruimte (3)wordt geprojecteerd op een plat vlak (2).
In dit geval zal de matrix M een 2 ◊ 3 matrix zijn (2 rijen en 3 kolommen) anders kan het beeld van een 3 ◊ 1 vector nooit een 2 ◊ 1 vector worden.
Je moet wel even goed definiŽren wat de basisvectoren van je projectievlak zijn.
 
Voorbeeld.  Geef de matrix voor projectie op het vlak  x = y

Zie de figuur hiernaast. De hele ruimte wordt afgebeeld op het blauwe vlak.
Stel dat we de x-as en de y-as in het blauwe vlak zo kiezen als hiernaast.
Dan worden de x- en y basisvectoren beiden  afgebeeld op punt P, en dat punt heeft met de nieuwe (blauwe) assen de
coŲrdinaten (1/2
2, 0)

Dan geldt voor de basisvectoren:

     

     
Nou je deze matrix M eenmaal hebt, kun je vliegensvlug uitrekenen dat bijv het punt  (1, 2, 3)  wordt afgebeeld op het nieuwe punt  (3/2√2, 3).
       
Deze techniek wordt natuurlijk erg vaak gebruikt in computerspellen waarin je een 3D-wereld wilt afbeelden op een plat vlak, namelijk op je computerscherm.

Maar je kunt als projectievlak natuurlijk ook gewoon het papier van je schrift nemen:
       
Links zie je een ruimtelijk assenstelsel in parallelprojectie (met de x-as onder een hoek van 30 en verkortingsfactor 1/2)
Daarin zijn de punten  (A, 4, 0, 0)  en  B(0, 2, 0) en C(0, 0, 3) getekend.
       

       
Rechts is daar een "gewoon"  plat assenstelsel overheen gelegd met dezelfde oorsprong (die oorspronkelijke x-as is er dus niet meer)
In dat assenstelsel is  A = (-√3, -1)  en  B = (2, 0) en C = (0, 3)
Dus moet gelden:

Dus is  a = -1/4√3  en b = -1/4
Op dezelfde manier volgt uit de beelden van B en C dat  c = 1  en d = 0  en  e = 0  en f  = 1
De matrix die deze projectie op het vlak van ons papier beschrijft is dus:

       
En voor andere soorten projecties (bijv. de ingenieursprojectie, scheve projectie  of isometrische projectie) kun je ook makkelijk zo'n matrix opstellen.
       
       
   OPGAVEN
       
1. Geef de matrix voor spiegelen in het vlak  y - z = 0
       
       
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)