h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Substituties bij limieten.
       
Zo af en toe is het handig om bij het berekenen van limieten  een variabele te vervangen door een andere. Als je dat een beetje slim doet, dan wil een lastige limiet soms opeens een stuk makkelijker worden.

Neem de volgende limiet:

       
Die is niet erg eenvoudig 
Even snel proberen met mijn GR geeft voor hele kleine x-waarden dat er 0,333... uitkomt, dus ik vermoed dat het wel eens 1/3 zou kunnen zijn! Maar hoe zie ik dat aan die limiet?

De oplossing is een substitutie.

Kies  u = 3(1 + x)
dan is  u3 = 1 + x  dus  xu3 - 1  en als x naar nul gaat, dan gaat u naar 1.
Daarmee verandert de limiet in:

       
En die kunnen we oplossen, door in de noemer u - 1 buiten haakjes te halen (eventueel met een staartdeling)
Dat geeft:

       
       
1. Bereken:

  a.
       
  b.

       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)