© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Verbanden vergelijken
       
We hebben in de loop van de wiskundelessen al heel wat verschillende formules met elk hun speciale eigenschappen en grafieken gezien. Deze les maken we een overzicht van wat we allemaal al weten.

1. Lineair.

     

De formule hierbij is  y = ax + b
De grafiek is een rechte lijn.

  b is het beginpunt (op de y-as)
  a is het hellinggetal:  bij 1 stap naar rechts gaat de lijn a omhoog.

Als b = 0 gaat de lijn door de oorsprong en dan heet dit ook wel een recht-evenredig verband.
2.  Exponentieel.
       
De formule is  y = B gx
De grafiek heeft toenemende stijging (als g > 1) of afnemende daling (als g < 1)

•  is het begingetal (op de y-as)
•  g  is de groeifactor.

Voor berekeningen kun je gebruiken dat  gagb = ga + b  en  (ga)b = gab
       

       
3.  Machten.
       
De formule is  y = a xn 
De grafiek stijgt. Toenemende stijging als n > 1  en afnemende stijging als n < 1
De grafiek gaat door de oorsprong.

Voor berekeningen kun je gebruiken dat  anbn = (ab)n
       

       
4.  Wortels.
 

De formule is  y = √x
Dit is eigenlijk ook een machtsverband, want  √x = x0,5

De grafiek heeft een randpunt.

Voor berekeningen kun je gebruiken  dat  √a • √b = √(ab)

 

 

 

       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Iemand warmt in 25 minuten een hoeveelheid water op van 5 °C naar  100 °C.
       
  a. Bereken hoeveel graden het water is na 10 minuten verwarmen als de temperatuut lineair toeneemt.
       
  b. Bereken hoeveel graden het water is na 10 minuten verwarmen als de temperatuur exponentieel toeneemt.
       
2. Een psychologe doet onderzoek naar de snelheid waarmee kinderen woordjes leren. Zij laat een groep kinderen elke dag een half uur dezelfde woordjes leren, en test na elke dag hoeveel woordjes de leerlingen gemiddeld kennen. Dat geeft de volgende tabel:
       
 
dag (d) 1 2 3 4 5 6 7
gem. woordkennis (W) 18,5 29,6 39,0 47,5 55,3 62,6 69,5
       
  a. Leg duidelijk uit hoe je kunt zien dat hier GEEN sprake is van een exponentieel verband.
       
  De psychologe gaat uit van een machtsverband  W = a db   
Als dat inderdaad zo is, dan kun je direct zien dat moet gelden a = 18,5
       
  b. Leg duidelijk uit hoe je dat kunt zien.  
       
  De psychologe vindt aan de hand van bovenstaande tabel dat b = 0,68.
       
  c. Leg met een berekening uit hoe je dat getal zelf zou kunnen vinden.
       
  d. Na hoeveel dagen zal W gelijk zijn aan  150?
       
3. Examenopgave HAVO Wiskunde A, 2022-I

De CO2-concentratie in de lucht blijft toenemen. In 2000 was het jaargemiddelde 369,5 ppm, in 2015 was dit opgelopen tot 400,8 ppm.

Tibbe vermoedt op basis van de figuur bovenaan deze opgave dat het jaargemiddelde in de periode 2000–2015 groeide volgens een exponentieel verband en dat de groei zich in de jaren daarna voortzet volgens hetzelfde exponentiële verband. Je kunt dan, uitgaande van bovenstaande gegevens, berekenen in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.

       
  a. Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
       
  Marrit is het niet eens met Tibbe: zij vermoedt dat er vanaf het jaar 2000 geen sprake is van exponentiële groei, maar van lineaire groei. Je kunt dan, uitgaande van de jaargemiddelden van 2000 en 2015 en met behulp van lineair extrapoleren, berekenen in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
       
  b. Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
       
  Wereldwijd worden er afspraken gemaakt met als doel de CO2-concentratie omlaag te brengen. Veronderstel dat het inderdaad lukt om de CO2-concentratie na 2015 zodanig te laten dalen dat het jaargemiddelde in 2050 nog maar 350 ppm is. Dan kan er bijvoorbeeld sprake zijn van afname volgens
- een lineair verband of
- een exponentieel verband.

In beide gevallen is het jaargemiddelde in 2015 gelijk en is ook het jaargemiddelde in 2050 gelijk. Echter, een CO2-concentratie van bijvoorbeeld 375 ppm wordt in het ene geval op een eerder moment bereikt dan in het andere geval.
       
  c. Leg uit, zonder berekeningen te geven, in welk van de twee genoemde gevallen de CO2-concentratie het eerst de waarde 375 ppm bereikt.
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)