© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De top van een parabool.
       
Om de top van een parabool te vinden kun je natuurlijk de snijpunten met de x-as uitrekenen, en vervolgens weet je dat de top daar midden tussenin zit (een parabool is immers symmetrisch).

Zo zie je hiernaast de parabool  y = x2 - 6x + 5

Nulpunten:   x2 - 6x + 5 = 0
(x - 5)(x - 1) = 0
x = 5  ∨  x = 1

De top ligt daar dan midden tussen in dus bij x = 3
Dan is y = 32 - 6 · 3 + 5 = -4
Dus de top is (3, -4)

Makkie!
       
En toch werkt deze methode niet altijd!
Zie je al waarom niet?

Nou simpel:  omdat er parabolen hebben die de x-as niet snijden natuurlijk!!!!
       
We gaan daarom een andere manier gebruiken waarmee je wel altijd de top kunt vinden. Als je het graag zelf wilt uitvinden moet je het werkblad hiernaast maar in gaan vullen.
 

werkblad

Ik zal het voor doen met de parabool y = x2 - 6x + 10 hiernaast.
Die heeft geen snijpunten  met de x-as dus bovenstaande methode werkt niet.

STAP 1.  Bereken het snijpunt met de y-as

Nou dat is simpel:  x = 0 invullen geeft  y = 10
 
       
STAP 2.

Nu teken je een horizontale lijn door dat snijpunt met de y-as zoals hiernaast is gebeurd.

Dat is hier dus de lijn y = 10

 
       
STAP 3.

Bereken nu het andere snijpunt van deze lijn met de parabool.
x2 - 6x + 10 = 10
x2 - 6x = 0
x(x - 6) = 0
x = 0  (wisten we al)  ∨  x = 6

STAP 4.
Nou:  dan zit de top nu midden tussen deze twee punten in.
Dus de x van de top is gelijk aan  (0 + 6)/2 = 3

Dan is de y van de top   y = 32 - 6 · 3 + 10 =  1

De top is  (3, 1)

       
En nu automatiseren.....

Laten we dezelfde stappen uitvoeren met de algemene parabool  y = ax2  + bx + c

STAP 1.
x = 0  geeft  y = a · 02 + b · 0 + c  = c.  Dus het snijpunt met de y-as is  (0, c)
STAP 2.
teken de lijn y = c.
STAP 3.
y = c snijden met de parabool geeft  ax2 + bx + c = c
ax
2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
x = 0 
  ax + b = 0
x = 0 
   x = -b/a
STAP 4.
xtop1/2 · (0 + -b/a)  =  -b/2a
       

y = ax2 + bx + c   heeft als top  x = -`b/2a

       
Voorbeeld van het gebruik hiervan:.

Laten we er maar weer een parameter ingooien:
Voor welke p  heft de parabool  y = 2x2 + px + 5 de top bij  y = 3?

uitwerking:
xtop = -p/4
ytop = 2(-p/4)2 + p (-p/4) + 5  =  1/8p2 - 1/4p2 + 5  =  -1/8p2 + 5
-1/8p2 + 5 = 3
 -1/8p2 = -2
p2 = 16
p = 4  ∨   p = -4
       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Bereken de coördinaten van de top van de volgende parabolen:
       
  a. y = -2x2 + 8x - 5
       
  b. y = 3x2 - 4x + 12
       
  c y =  5x2  + 2x - 8
       
2. a. Voor welke p heeft de parabool  y = -2x2  + px - 6  de top bij y =  -51/2  ?
       
  b. Voor welke p heeft de parabool  y = px2  - 3x + 6  de top bij y = 10 ?
       
3. Voor welke p ligt de top van de parabool  y = x2 + px + 6  op de lijn  y = 2x + 4?
       
4. Voor welke a heeft de grafiek van  y = ax2 + 4x + a  een positief minimum?
       
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)