|
||||||
| De top van een parabool. |
 |
|||||
| Om de top van een
parabool te vinden kun je natuurlijk de snijpunten met de x-as
uitrekenen, en vervolgens weet je dat de top daar midden tussenin zit
(een parabool is immers symmetrisch). Zo zie je hiernaast de parabool y = x2 - 6x + 5 Nulpunten: x2 - 6x + 5 = 0 (x - 5)(x - 1) = 0 x = 5 ∨ x = 1 De top ligt daar dan midden tussen in dus bij x = 3 Dan is y = 32 - 6 · 3 + 5 = -4 Dus de top is (3, -4) Makkie! |
 |
|||||
| En toch werkt deze
methode niet altijd! Zie je al waarom niet? Nou simpel: omdat er parabolen hebben die de x-as niet snijden natuurlijk!!!! |
||||||
| We gaan daarom een andere manier gebruiken waarmee je wel altijd de top kunt vinden. Als je het graag zelf wilt uitvinden moet je het werkblad hiernaast maar in gaan vullen. | ||||||
| Ik zal het voor doen
met de parabool y = x2 -
6x + 10 hiernaast. Die heeft geen snijpunten met de x-as dus bovenstaande methode werkt niet. STAP 1. Bereken het snijpunt met de y-as Nou dat is simpel: x = 0 invullen geeft y = 10 |
 |
|||||
| STAP 2.
Nu teken je een horizontale lijn door dat snijpunt met de y-as zoals hiernaast is gebeurd. Dat is hier dus de lijn y = 10 |
 |
|||||
| STAP 3. Bereken nu het andere snijpunt van deze lijn met de parabool. x2 - 6x + 10 = 10 x2 - 6x = 0 x(x - 6) = 0 x = 0 (wisten we al) ∨ x = 6 STAP 4. Nou: dan zit de top nu midden tussen deze twee punten in. Dus de x van de top is gelijk aan (0 + 6)/2 = 3 Dan is de y van de top y = 32 - 6 · 3 + 10 = 1 De top is (3, 1) |
|
|||||
|
En nu automatiseren..... Laten we dezelfde stappen uitvoeren met de algemene parabool y = ax2 + bx + c STAP 1. x = 0 geeft y = a · 02 + b · 0 + c = c. Dus het snijpunt met de y-as is (0, c) STAP 2. teken de lijn y = c. STAP 3. y = c snijden met de parabool geeft ax2 + bx + c = c ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ∨ ax + b = 0 x = 0 ∨ x = -b/a STAP 4. xtop = 1/2 · (0 + -b/a) = -b/2a |
||||||
|
||||||
| Voorbeeld van het gebruik hiervan:. | ||||||
|
||||||
|
|
||||||
| OPGAVEN. | ||||||
| 1. | Bereken de coördinaten van de top van de volgende parabolen: | |||||
| a. | y = -2x2 + 8x - 5 | |||||
| b. | y = 3x2 - 4x + 12 | |||||
| c | y = 5x2 + 2x - 8 | |||||
| 2. | a. | Voor welke p heeft de parabool y = -2x2 + px - 6 de top bij y = -51/2 ? | ||||
| b. | Voor welke p heeft de parabool y = px2 - 3x + 6 de top bij y = 10 ? | |||||
| 3. | Voor welke p ligt de top van de parabool y = x2 + px + 6 op de lijn y = 2x + 4? | |||||
| 4. | Voor welke a heeft de grafiek van y = ax2 + 4x + a een positief minimum? | |||||
 |
||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||
