h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stelsels vergelijkingen  (1)
       
Stel dat je gevraagd wordt    "Los op:  2x + 4y = 20".
Dat gaat niet lukken!

Waarom niet?

Nou, omdat er oneindig veel oplossingen zijn. Je hebt maar n formule en twee letters. Dat is een beetje teveel van het goede. Bij elke x die je noemt kan ik wel een y bedenken zodat de vergelijking klopt!
Noem een x.....  Wat zeg je....?   x = 2....? 
Ok:
Met x = 2 dan staat er  2 2 + 4y = 20   ⇒  4y = 16  ⇒  y = 4
En zo geeft  x = 4 dat  y = 3 en  x = 10,8 dat y = -0,4  en ga zo maar door.....

Kortom: we hebben nog een extra voorwaarde of vergelijking nodig. Dan wil het (meestal) wel!

       

voor n letter heb je n vergelijking nodig
voor twee letters heb je twee vergelijkingen nodig
voor drie letters heb je drie vergelijkingen nodig.
.............

       
Methode 1:  lineaire combinatie.
       
Deze methode berust op het eenvoudige basisprincipe:
       

als a = b  en  c = d  dan is  a + c = b + d

       
Neem het volgende stelsel van twee vergelijkingen:  2x + 4y = 20  en   3x - 2y = 14
Om aan te geven dat ze beide tegelijk moeten gelden geven we dat meestal aan met een accolade, dus z:
       

       
Als nu  a = 2x + 4en b = 20  en  c = 3x - 2y en d = 14 , dan zegt de regel in het blok hierboven dat geldt 

2x + 4y + 3x - 2y = 20 + 14 
ofwel  5x + 2y = 34.

Daar lijken we niets mee op te schieten. Het klopt misschien wel, maar we krijgen er nog steeds geen antwoord door.

Maar nou komt de truc:  als we eerst de vergelijkingen met de balansmethode veranderen kunnen we het misschien z regelen dat bij het optellen n van de letters wegvalt!!!!!

Neem de tweede vergelijking  3x - 2y = 14. 
Die kunnen we veranderen door beide kanten met 2 te vermenigvuldigen in  6x - 4y = 28.
En kijk wat er nu gebeurt bij optellen:   2x + 4y + 6x - 4y = 20 + 28  ofwel  8x = 48  dus  x = 6
Invullen in n van beide vergelijkingen levert dan direct y = 2.
We noteren dat als volgt:
       
       
En om nu de y te vinden kun je deze x gewoon invullen in n van beide oorspronkelijke vergelijkingen. Als je een achterdochtig typje bent zou je de x zelfs in beide vergelijkingen kunnen invullen om te controleren of er wel dezelfde y uitkomt.

Soms moet je zelfs beide vergelijkingen ergens mee vermenigvuldigen om een letter te laten wegvallen.
Neem bijvoorbeeld het stelsel  2x - 5y = 11  en   7x  + 3y = 59.
Hier zijn twee mogelijke oplossingen. Probeer zelf te achterhalen wat er gedaan is:
       
       
Beide methodes geven de oplossing  x = 8  en y = 1.

In plaats van optellen mag je de vergelijkingen ook gewoon van elkaar aftrekken (immers dat is hetzelfde als de tweede met -1 vermenigvuldigen en dan bij elkaar optellen).
Voorbeeldje daarvan:
       
       
Nu zijn de vergelijkingen van elkaar afgetrokken.
En x = -3,8 levert dan weer eenvoudig dat y = 4,34.
       
Formules uit een verhaaltje opstellen.
       
Soms krijg je niet twee kant-en-klare vergelijkingen maar een verhaaltje waaruit je eerst zelf zulke vergelijkingen moet opstellen.
De letters zijn in die gevallen steeds de dingen die je moet uitrekenen. Noem ze zelf maar x en y of verzin er andere namen voor.

Hoe maak je uit een tekst formules? 
Hier staan een paar veel gebruikte Nederlandse zinnen met hun wiskundevertaling er achter:

       
Nederlands Wiskundig
"x is vijf groter dan y"
"er zijn tweemaal zoveel y als x"
"het verschil tussen x en y is 18"
"de helft van x is twee minder dan y"
x = y + 5
y = 2x
x
- y = 18   of   y - x = 18
0,5x = y - 2
       
Je kunt, als je twijfelt of je wel een goede formule hebt gemaakt, altijd even controleren door een paar getallen in te vullen. Als je bijvoorbeeld bij  "er zijn tweemaal zoveel y als x" hierboven twijfelt of je nou moet zeggen  y = 2x  of misschien  x = 2y dan neem je gewoon twee getallen waarvoor het moet kloppen. Dat zou kunnen zijn y = 4 en x = 2 want dan zijn er inderdaad tweemaal zoveel y als x. De vergelijking  y = 2x geeft dan  4 = 2 2 en dat klopt. De vergelijking x = 2 y  geeft  2 = 2 4 en dat klopt niet. De goede is dus de eerste.
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Los exact op met behulp van een lineaire combinatie:
       
  a. 2x + 3y = 6  en  5x - 4y = 8
       
  b. x + 3y = 5  en  3x + 8y = -10
       
  c. 4y = 4 - x  en   5x = 8 - 3y
       
  d. 2y + 12x = 9  en  7 - 3x = 4y
       
  e. -3x - 3y = 8 en  5x + 2y - 13 = 0 
       
  f. 2x = 5 - 3y  en   5x + 2y = 7 
       
2. Vijf flessen whisky en acht flessen wijn kosten samen 146 euro.
Vier flessen whisky en twee flessen wijn kosten samen 86 euro.
Hoeveel kosten tien flessen whisky en zeven flessen wijn samen?
       
3. Voor het komende schoolfeest is de leerlingenvereniging kaartjes aan het verkopen. Kaartjes voor leerlingen kosten  2,50 en kaartjes voor ouders kosten 4,00. Na een poosje komen ze er achter dat eigenlijk niemand heeft bijgehouden hoeveel kaartjes van elke soort zijn verkocht. Het enige dat de verkopers kunnen melden is dat er in totaal 80 kaartjes zijn verkocht voor samen 242,00.
Hoeveel van elke soort zijn er verkocht?
       
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)