© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Rekenen met machten (1)  
Voor we gaan beginnen met exponentiλle systemen moet je eerst een paar eenvoudige basisberekeningen met machten kennen en kunnen gebruiken.

Eerst wat namen:
Als je iets tot de macht gaat nemen dan heet dat machtsverheffen.
Het getal dat op de grond staat heet het grondtal  en het getal dat in de lucht hangt heet de exponent.

Waarschuwing vooraf:  
Machtsverheffen gaat vσσr vermenigvuldigen !
   
Veelgemaakte blunders:

Omdat machten vσσr vermenigvuldigen gaan kun je niet zeggen:  
5 • 43 = 203  want je mag niet eerst 5 • 4 uitrekenen voordat je die macht doet.

Een ook met letters geldt dus NIET dat   3 • 5x = 15x 

   
Wat wel mag:

Natuurlijk geldt nog wel onze oude algebraregel dat je blokjes met precies dezelfde letters kunt samennemen.

Dus net zoals  2x + 3x = 5x  geldt ook   4 • 3x   + 3 • 3x = 7 • 3x

   
1.  machten vermenigvuldigen (en een beetje delen).
Wat gebeurt er als je twee machten met het zelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt?

Met getallen is het simpel:  35 • 34 = (3 • 3 • 3 • 3 • 3) • (3 • 3 • 3 • 3) = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 39
Waar komt het op neer:  Als de grondtallen gelijk zijn kun je machten die met elkaar worden vermenigvuldigd samennemen. Dat doe je door de exponenten op te tellen. In formule:

ga • gb = ga + b

  Voorbeelden:
24 • 26  = 210
82 • 6 • 85 = 6 • 87
4x2 • 3x7 = 12x9
3p • p4 = 3p5
Andersom kan het ook:  als de machten gelijk zijn maar de grondtallen verschillend kun je ze ook samennemen, bijvoorbeeld:  34 • 24 = 3 • 3 • 3 • 3 • 2 • 2 • 2 • 2 = (3 • 2) • (3 • 2) • (3 • 2) • (3 • 2) = 6 • 6 • 6 • 6 = 64
In formulevorm:
   
 

pa • qa = (pq)a

  Voorbeelden;
25 • 65  = 125
43 • 7 • 33 = 7 • 123
x4 • 10 • y4 = 10 • (xy)4  
   
  machten delen.
   
  Als je zou moeten gokken dan zou je het vast goed doen! In dit geval wel denk ik.
Als termen met elkaar vermenigvuldigen betekent dat hun hun machten moet optellen, wat zou termen op elkaar delen dan betekenen?

Zie je wel:  Je gokt dat de machten dan wel van elkaar afgetrokken zullen worden.

En dat is ook zo!
   
 
   
  Ik hoop dat je dat ook logisch vindt.
Stel dat je bijvoorbeeld g7 moet delen door g4
Dat geeft dan:
 
   
  Van die zeven g's bovenin vallen er 4 weg tegen die ondersten, dus blijven er drie over.
2. machten van machten.
Als je iets tot-de-macht doet, en dan het resultaat wιιr tot de macht gebeurt er dit:
(32)4 = (iets)4 = (iets) • (iets) • (iets) • (iets) = 32 • 32 • 32 • 32 = (3 • 3) • (3 • 3) • (3 • 3) • (3 • 3) = 38
Je ziet dat je in dit geval de exponenten met elkaar moet vermenigvuldigen:

(ga)b = ga • b
   
  Denk er om dat de regel beide kanten op gebruikt kan worden!!
   
  Voorbeelden;
(34)5 = 320
24x =  (24)x = 16x
(p2)7 = p14 
(5a3)4 = 54 • (a3)4 = 625a12
(3x)2 = 32x
   
Zorg dat je, vσσr je met de volgende opgaven begint, alle voorbeelden hierboven goed begrijpt!!
   
Moeilijk voorbeeld.

4 • 32x + 5 
= 4 • 32x • 35
= 4 • (32)x • 243
= 972 • 9x
   
   
  OPGAVEN
1. Schrijf de volgende uitdrukkingen in de vorm  y = a • gx  en zo eenvoudig mogelijk:
   
a. y =  4 • 32x
b. y =  0,5 • 4x + 2
c. y =  3 • 22x • 2
d. y =  5 • 4x • 4x + 1
e. y = 0,22x + 3
f. y = 20 • 34x + 5
g. y = 2x • 22x • 4
h. y = 6x • 3 • 6x+1
i. y =  3 • 1,82x • 6 • 1,8x + 1
       
2. Herleid de volgende formules:
       
  a. P  = (4t)3 - 6t3
  b. Z = (2x)4 + 2x • 4x3
  c. G = 2m3 • 5m4 + (2m)5 • m2  
  d. y =  (2x2)3 - 4x4 • x2  
       
3. Schrijf zo eenvoudig mogelijk:
       
  a.  
       
  b.  
       
  c.  
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)