© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Redeneren met exponentiële formules.
       
In deze les hebben we al eerder bekeken hoe je aan de hand van formules kunt beredeneren of de grafiek ervan stijgt of daalt en of er grenswaarden zijn. Dart deden we toen met wortels, breuken en machten.
In deze les gaan we daar exponentiële formules aan toevoegen.

Daarvoor zijn vier eigenschappen van exponentiële formules belangrijk, en dat zijn:
       
als g groter dan 1 is, dan geldt:
1. Als t groter wordt dan wordt gt ook groter
2. Als t een heel groot negatief getal wordt, dan wordt gt gelijk aan nul.
   
als g kleiner dan 1 is dan geldt:
3. Als t groter wordt, dan wordt gt kleiner
4. Als t een heel groot positief getal wordt, dan wordt gt gelijk aan nul.
       
Het zit hem allemaal in die twee grafieken van gx uit de vorige les.
       

       
Een voorbeeldredenering.

Neem de volgende formule:

       
Als t groter wordt, dan wordt 0,8t  kleiner  (regel 3, want  0,8 < 1)
Dan wordt 2 + 0,8t ook kleiner
Dan wordt de hele breuk groter want de noemer wordt kleiner.
Dus N wordt groter, dus de grafiek stijgt.

Als t heeeeel erg groot positief wordt, dan wordt 0,8t  nul (regel 4)
Dan wordt de noemer ongeveer 2 + 0 = 2
Dan wordt de hele formule  220/2 = 110
De grenswaarde aan de rechterkant  is dus  N = 110

Als t heeeeel erg groot negatief wordt dan wordt 0,8t heel erg groot,
Dan wordt de noemer heel erg groot.
Dan wordt de hele formule bijna nul.
De grenswaarde aan de linkerkant is N =  0.

Hiernaast zie je dat dat inderdaad allemaal klopt met de grafiek van N.

       
Als je het niet zeker weet....
     

Als je het niet meer zeker weet kun je natuurlijk altijd op je GR kijken wat er gebeurt.
Stelt dat je wilt weten wat 0,8t  in het voorbeeld hierboven wordt als t  heel groot negatief wordt...
Dat toets je gewoon in  0,8^(-100) en dan zie je vanzelf dat dat een heel groot getal wordt (4909093465).
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Leerpsychologen zeggen dat het beter is om twee keer 1 kwartier ergens aan te leren dan één keer een half uur. In de formule hieronder is deze leerpsychologische wet terug te vinden.
       
 

E(t) = 100 – (100 – B)·0,7t

       
  Daarin is B het percentage van de stof dat je aan het begin al kent, en E het percentage dat je na t kwartier aan één stuk door leren kent (als je dus begint met B%)
       
  a. Leg met de formule duidelijk uit welke grenswaarde E heeft.
       
  b. Leg met de formule duidelijk uit of de grafiek van E stijgt of daalt.
       
  c. Karin wil de stof uiteindelijk voor 80% kennen. Ze berekent met de formule hierboven dat ze dan nog 58 minuten moet leren. Voor hoeveel procent kent ze de stof nu al?
       
2. Een bioloog bestudeert de oppervlakte (in mm2) van een bacteriekolonie op een Petrischaal in zijn laboratorium. Na een groot aantal metingen stelt hij de volgende formule op:
       
 

       
  met A de oppervlakte in mm2 en t de tijd in dagen.
       
  a. Leg met de formule duidelijk uit of de grafiek van A stijgt of daalt.
       
  b. Hoe groot zal de oppervlakte uiteindelijk worden?
       
3. Examenopgave Wiskunde A, HAVO 2021-I
 
Om te bepalen hoe goed iemands ogen functioneren, wordt vaak gebruikgemaakt van de Snellenkaart. De letters op deze kaart moeten vanaf een afstand van 20 feet (ongeveer 6 meter) worden gelezen. Zie de figuur.

De visus is een maat voor de gezichtsscherpte. Deze maat kan met behulp van de Snellenkaart worden uitgedrukt in een score S. Iemand met normaal functionerende ogen kan de letters op regel 8 nog wel lezen, maar de letters op regel 9 niet meer. Bij normaal functionerende ogen hoort een score
S
= 20/20 = 1. Als een persoon nog kleinere letters kan lezen, dan is de score S groter dan 1. Bij de onderste regel 11 hoort bijvoorbeeld de score
S
= 20/10 = 2.

Iemand met S = 0,5 moet alles van tweemaal zo dichtbij bekijken om hetzelfde op de Snellenkaart te kunnen zien als iemand met S = 1.
Iemand met S = 0,1 moet tienmaal zo dichtbij staan, enzovoort.

  Klaas en Lidy laten hun visus meten. Klaas kan regel 2 nog wel lezen, maar regel 3 niet meer. Lidy kan regel 7 nog wel lezen, maar regel 8 niet meer.
       
  a. Bereken hoeveel keer zo dicht Klaas bij de Snellenkaart moet staan als Lidy om hetzelfde te kunnen lezen als Lidy.
       
  Er zijn meerdere maten voor de gezichtsscherpte. Voorbeelden hiervan zijn de logMAR-schaal en de ETDRS-letterscore.

Het verband tussen de score S volgens de Snellenkaart en de score M op de logMAR-schaal wordt gegeven door formule 1. Voor het verband tussen de score S en de ETDRS-letterscore E geldt formule 2:
 
S =  10-M    formule 1
en

   formule 2

Aan de hand van formule 1 en formule 2 kan beredeneerd worden dat als M groter wordt, E kleiner zal worden.

       
  b. Geef deze redenering, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden.
       
4. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2015 - I

Facebook is een sociaalnetwerksite, opgericht door Mark Zuckerberg in februari 2004. In het begin konden alleen studenten van Harvard College lid worden, later werden ook studenten van andere universiteiten toegelaten. In september 2006 werd Facebook geheel openbaar. Iedereen vanaf 13 jaar, waar ook ter wereld, kreeg de mogelijkheid om zich te registreren en actief gebruik te gaan maken van de site.

Het aantal actieve gebruikers steeg de eerste jaren spectaculair.

Het bleek erg optimistisch om aan te nemen dat de groei zich lineair voortzet. Al in 2011 voorspelden sommigen dat de groei verder zou afnemen. In de volgende figuur zie je een grafiek die bij deze voorspelling past.

       
 

  Bij deze grafiek hoort de formule:
 

       
  Hierin is A het aantal actieve gebruikers in miljoenen en t de tijd in maanden met t = 0 op 1 december 2005.
       
  a. Bereken voor welke gehele waarde van t er volgens de formule voor het eerst meer dan 730 miljoen actieve gebruikers zijn.
       
  Volgens de formule zal het aantal actieve gebruikers blijven stijgen, uiteindelijk nauwelijks meer toenemen en een grenswaarde benaderen.
       
  b. Beredeneer aan de hand van de formule dat het aantal actieve gebruikers blijft stijgen en bepaal de grenswaarde.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)