h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Ongelijkheden.
 
Laten we de volgende twee lijnen nemen:   y1 = 2x + 6  en  y2 = 5x - 4.

Het snijpunt van beide lijnen vinden we door te stellen  y1 = y2
Dat heeft als oplossing   x = 31/3  (en y = 112/3). Je hebt in de vorige les geleerd hoe je die oplossing kunt vinden.

Maar vandaag is de vraag:  Los op:  2x + 6 > 5x - 4, ofwel:

Los op:   y1 > y2

Dat is dezelfde vraag als: 

"Voor welke x-waarden is de bijbehorende y1 groter dan de bijbehorende y2?"


Er zijn maar liefst DRIE methoden op dat op te lossen.
Hou je vast:
methode 1:  Met de grafiek.
Bekijk de grafiek hiernaast. We hadden al gevonden dat het snijpunt ligt bij  x = 31/3. En in een eerste opwelling zou je misschien zeggen dat dan nu moet gelden  x > 31/3.
Maar in de grafiek hiernaast zie je dat dat niet klopt.
y1 > y2 betekent:  de lijn van y1 ligt in de grafiek boven die van y2. Je ziet hiernaast dat dat zo is bij het rode deel van die lijn.
En daarbij horen de blauwe x-waarden!!!

Conclusie: de oplossing is  x < 31/3

methode 2:  Met een getallenlijn.
Deze methode is wat luier dan de vorige: in plaats van de hele grafiek tekenen we alleen de x-as! We weten dat het grensgeval was  x = 31/3 dus dat zetten we erop.
En nu proberen we gewoon een x aan de ene kant van 31/3 en een x aan de andere kant van 31/3. 
Daarvoor testen we of geldt dat 2x + 6 > 5x - 4.

Als het klopt zetten we "JA" boven de lijn en als het niet klopt  :"NEE".
Neem bijvoorbeeld x = 2. Dat geeft  2 2 + 6 > 5 2 - 4  ofwel  10 > 6. Dat klopt, dus daar staat JA.
Neem daarna bijv. x = 4. Dat geeft  14 > 16 en dat klopt niet, dus daar staat NEE.
Het antwoord op de vraag is nu gewoon het stuk van de x-as waar JA staat, dus  x < 31/3   
methode 3:  Algebrasch.

2x + 6  > 5x - 4
2x > 5x - 10
-3x > -10
x < -10/-3 = 31/3.

Dus wederom  x <  31/3
Het gevaarlijke moment is van regel 3 naar regel 4. Als je beide kanten met een negatief getal vermenigvuldigt (of door een negatief getal deelt) dan draait het teken om!!!

   
De intervalnotatie.
   
≥  ipv  >
   
Wat verandert aan bovenstaand verhaal als er niet > stond, maar ?
Nou, dat betekent dat de waarde van x waarvoor precies geldt dat 2x + 6 = 5x - 4  ook nog mag. Dat betekent in het voorbeeld dat 31/3 nu k bij de oplossing hoort.
De oplossing zou dan worden   x ≤ 31/3
   
Er is en handiger manier om aan te geven welke x-waarden de oplossing van een vergelijking vormen, en dat is de intervalnotatie.
Die notatie heeft alles te maken met de getallenlijn die we hierboven al zagen en die hier naast nog een keer staat getekend.

Zo'n blauw stukje van de getallenlijn kunnen we op een handige manier aangeven en daarvoor gebruiken we zes tekens:

   

   
Als het blauwe lijnstuk hierboven zou horen bij  x <  31/ dan is dat in de intervalnotatie       , 31/3
Als het blauwe lijnstuk hierboven zou horen bij   31/ dan is dat in de intervalnotatie      , 31/3]
   
Dat  verschil tussen die twee soorten haakjes kun je makkelijk onthouden met het ezelsbruggetje hiernaast.

Bij zo'n "vierkant" haakjes staat dat randgetal stevig op de rand, dus dat blijft erin. Bij zo'n "geknikt" haakje glijdt dat randgetal eruit als van een groene zeep helling.

Het is natuurlijk logisch dat er bij een pijltje altijd zo'n "geknikt" haakje staat want daar is geen randgetal dat er nog binnen blijft staan.

 
En die intervalnotatie kun je ook gebruiken bij allerlei andere intervallen en combinaties van intervallen.
Kijk maar naar de volgende voorbeelden, waar steeds van een deel van de getallenlijn staat aangegeven met welk interval je dat kunt beschrijven. (een dichte stip betekent dat het randgetal erbij hoort, en open stip dat het randgetal er niet bij hoort)
 

 
Het kan zelfs bij intervallen die uit meerdere losse stukken bestaan. In dat geval zet je het tekentje  ∪  ertussen.
Dat betekent  "samen met".
Dat geeft in de volgende gevallen de volgende intervallen:
   

   
 
1. Los op, en geef je antwoord met de intervalnotatie:
         
a. 6 - 3x < 2x + 8 c. 4 - 3x  ≤  9x + 2
         
b. 5x + 3  ≥  12 - 7x d. 6x + 12  > -4x - 19
2. In de grafieken hiernaast staan de kosten voor een  mobiele telefoon bij drie aanbieders.

a. Welke aanbieder rekent de laagste kosten per belminuut?
b. Stel voor elke aanbieder een vergelijking op voor de kosten als functie van het aantal belminuten en bereken vervolgens welke aanbieder bij welk aantal minuten het goedkoopst is.
Een nieuwe aanbieder richt zich op mensen die veel bellen. Deze aanbieder vraagt een basisbedrag van 30, -
c. Hoeveel moet men per belminuut vragen om vanaf 100 belminuten de goedkoopste te zijn?

< 0,05

3. Een jogger begint op t = 0 hard te lopen. Hij loopt met constante snelheid van 12 km/uur.
Een tweede jogger begint op t = 15 (t in minuten) het zelfde parcours te lopen, maar deze jogger loopt met een constante snelheid van 14 km/uur.
Stel formules op voor de afgelegde afstand als functie van de tijd voor beide joggers en bereken daarmee algebrasch voor welke tijdstippen de eerste jogger vr de tweede zal lopen.
   

0-105

     

4.

Een werknemer wil in verband met zijn nieuwe baan gaan verhuizen van Groningen naar Maastricht. Daarvoor zoekt hij een verhuisbedrijf. Hij heeft berekend dat alles wel in n verhuiswagen kan, en leest de offertes van drie verhuisbedrijven. Het betreft de bedrijven Budget Verhuisservice,  Mast BV en  Nieuwenhuis Verhuizingen.
Elk bedrijf vraagt voor het gebruik van een verhuiswagen een vast bedrag per dag. Verder komt daar nog bovenop een bedrag per kilometer.
Budget Verhuisservice vraagt voor de wagen 400,-  en verder per km nog 2,50.
Mast BV  vraagt voor de wagen 550,- en verder per km nog 1,60.
Nieuwenhuis Verhuizingen  vraagt alleen een kilometervergoeding:  de eerste 100 km  kost een verhuizing 7,-  per km en elke km daarboven kost het 1,50,- per km.

     
  a. Stel formules op voor de totale vervoerkosten K als functie van de afstand a.
     
  b. Bereken bij welke afstanden welk bedrijf het goedkoopst is.
     
5. Los op en geef je antwoord met de intervalnotatie:
     
  a. 0,5x2 - 2x + 6  <  2x - x2 + 11,5
     
  b. 0,5x3 + x2 - 4x  ≥  x + 4
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)