h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Met of zonder ?
       

Tja, daar denkt natuurlijk iedereen aan bij "met of zonder".......
Wiskundig gaat het niet over mayonaise.
Waarover dan wel?
Daarvoor moeten we eerst twee speciale boomdiagrammen bekijken.
       
TWEE SPECIALE BOOMDIAGRAMMEN
       
Er zijn twee soorten boomdiagrammen die erg regelmatig zijn en bovendien in erg veel telproblemen voorkomen.
       
1.  De Machtsboom.
       
De machtsboom is het meest regelmatige boomdiagram dat je je maar kunt voorstellen, en zoals we zullen zien is het aantal takken daarvan dan ook zeer makkelijk te tellen.  De machtsboom herkennen we door:
       
Het aantal splitsingen is steeds gelijk
       
voorbeeld:
Je moet een multiple-choice proefwerk maken van 10 vragen met elke keer de keuzes a, b, c of d. Als je elke keer moet gokken, hoeveel mogelijkheden zijn er dan om deze vragen  te beantwoorden?

Voor de eerste vraag zijn er 4 mogelijkheden. Maar voor de tweede wr 4, en voor de derde en elke volgende vraag wr 4 mogelijkheden. Een begin van het  boomdiagram ziet er z uit:

       

       
Dit is uiteraard nog maar een beginnetje: er zijn nog maar drie splitsingen (dus de antwoorden op 3 vragen) getekend. Het hele diagram zou 10 splitsingen geven. Dat valt dus niet meer te tekenen.
Maar toch kunnen we uitrekenen hoeveel takken dat enorme diagram zou krijgen. Immers er zijn elke keer 4 mogelijke keuzes, dus het aantal takken wordt elke keer met 4 vermenigvuldigd.
Dat geeft na 10 splitsingen  4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 = 1048576 takken.
Je kunt dit aantal natuurlijk snel uitrekenen: het is  410 . Vanwege dat tot-de-macht-nemen heeft zo'n volledig regelmatige boom de naam machtsboom heeft gekregen.

Laten we nog heel even stilstaan bij de reden dat het getal 4 elke keer weer voorkomt.
Dat komt natuurlijk omdat alle vier de mogelijkheden bij elke vraag er weer zijn. Het is bijvoorbeeld niet zo dat een antwoord dat je al hebt gekozen daarna niet meer voor kan komen.
Daarom noemen we dit soort telproblemen in de wiskunde wel problemen met terugleggen
 Het antwoord dat je op een vraag hebt gekozen wordt als het ware teruggelegd zodat het bij de volgende vraag wr gekozen kan worden.

2.  De Faculteitsboom.

Een faculteitsboom kenmerkt zich door het feit dat het aantal splitsingen steeds eentje minder wordt.  Dat gebeurt steeds bij problemen waarbij er iets gekozen moet worden, dat niet wordt teruggelegd, zodat bij de volgende keuze het aantal mogelijkheden n minder is geworden.
We noemen dat daarom probleem zonder terugleggen.

Een faculteitsboom herken je dus door:

       
Het aantal splitsingen wordt steeds n minder
       
voorbeeld:

Ik heb een landkaart voor mij liggen met 4 landen. Die wil ik graag gaan kleuren, en ik heb ook 4 verschillende kleurpotloden. Op hoeveel manieren kan ik deze kaart inkleuren als elk land een verschillende kleur moet krijgen? 

Voor het eerste land kan ik kiezen uit 4 kleuren. Daarna voor het tweede land nog uit drie kleuren (de eerste kleur is afgevallen want die is al gebruikt) daarna voor het volgende land nog twee kleuren, en tenslotte voor het laatste land nog uit n kleur. Het boomdiagram ziet er z uit:

       

       
Zoals je ziet telkens n splitsing minder.
Het totaal aantal takken is  4 3 2 1 = 24.
4 3 2 1 kun je ook schrijven als 4 met een uitroepteken erachter:  4!  en ze spreken het uit als "4 faculteit"  (vandaar de naam faculteitsboom)

Er is natuurlijk een knop voor op je GR.
Toets in   4  en dan  MATH - PRB - 4: !
En je krijgt in n keer het antwoord 24.
       
Faculteitsbomen die niet helemaal tot 1 doorgaan.

Dat kan natuurlijk ook heel goed.
Als je een landkaart met 8 landen hebt, en je hebt 12 kleurpotloden,  dan wordt het aantal mogelijkheden:

12 11 10 9 8 7 6 5 

want nu zijn er 8 landen gekleurd, dus zijn we al klaar. 

En jawel!  Ook hiervoor heeft je GR weer een knop.
Toets in 12 en dan  MATH - PRB - nPr  en dan  8  en je krijgt in n keer het antwoord
(dus eerst het totaal aantal mogelijke keuzes (12) en daarna hoeveel je er werkelijk moet kiezen (8))

Aantallen die je berekent ZONDER terugleggen heten ook wel permutaties.
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Gooi 50 keer met een muntstuk en noteer elke keer of er KOP of MUNT uitkomt.  Hoeveel mogelijke series antwoorden zijn er?
       
2. Een kandidaat in een televisiequiz heeft van de quizmaster 6 verschillende prijskaartjes gekregen en moet die leggen bij 6 verschillende artikelen. Op hoeveel manieren kan hij dat doen?
       
3. Er worden in de eredivisie voetbal in een speelronde 13 wedstrijden gespeeld. Als je met een totoformulier meespeelt om de uitslagen te voorspellen, dan moet je voor elke wedstrijd voor het thuisspelende team invullen of het winst/verlies/gelijkspel wordt.
Op hoeveel manieren kun je zo'n formulier invullen?
       
4. Een beginnende popgroep heeft een repertoire van 16 nummers, die ze bij een optreden allemaal gaan spelen.
Hoeveel mogelijke  "speelprogramma's"  zijn er met deze 16 nummers?
       
5. Op een piano zitten 83 toetsen. Ik ga een melodietje spelen door 6 willekeurige toetsen na elkaar in te drukken
Hoeveel mogelijke melodietjes kan ik op die manier maken?
       
6. Tien automobilisten moeten hun auto gaan parkeren op 10 mogelijke parkeerplaatsen. Op hoeveel verschillende manieren kan dat gebeuren?
       
7. We zijn met een groep van 8 mensen en gaan lootjes trekken voor de komende Sinterklaasviering. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de lootjes worden getrokken, als iemand ook zichzelf kan krijgen?
       
8. Een palindroom is een woord dat hetzelfde is of je het nou gewoon leest of achterstevoren.
Voorbeelden zijn  "parterretrap"  en  "koortsmeetsysteemstrook"  en  "lepel"
Als we elke combinatie van letters een woord noemen (het hoeft dus geen bestaand woord te zijn)  hoeveel palindromen van 8 letters zijn er dan?
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)