h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Logaritmische schaalverdeling.  
Een beroemd verhaal vertelt dat de uitvinder van het schaakspel, ene Sissa ibn Dahir (zeg maar Sissa),  het spel aan zijn koning leerde. Die was z enthousiast dat hij de uitvinder een beloning wilde geven. "Zeg maar wat je wilt hebben," zei hij gul, want hij was namelijk nogal rijk. Sissa vroeg de koning om 2 graankorrels op het eerste veld van het schaakbord, 4 korrels op het tweede veld, 8 op het derde veld enzovoorts: steeds op een volgend veld het dubbele aantal van het vorige veld. De koning moest lachen om zo'n eenvoudige beloning.
Totdat hij een grafiek ging maken van het veldnummer op de x-as en het aantal graankorrels op de y-as......
Op zijn vel papier had hij een y-as tot een miljoen getekend. Maar daar paste zijn 20ste veld al niet meer op. (220 = 1048576) En op het vel dat hij er bovenaan plakte paste het 21ste veld al niet eens.
OEPS!
Het liep nogal uit de hand!!!!!
Om de hoogte van het laatste veld goed te tekenen zou hij ongeveer 2 1013 vellen papier boven elkaar nodig hebben. Als elk velletje 0,1 mm dik is, en je legt ze op elkaar als stapel zou die stapel maar liefst 2 miljoen km DIK  zijn!!!!!!!!
Een grafiek op schaal zou er z uitzien:
     
De eerste pakweg 55 velden geven een nogal saai beeld: daar is helemaal niets aan te zien. Om de saaiheid nog iets te verbergen heb ik er maar een lullig plaatje van Sissa naast gezet. En er valt uit al die stippen ook helemaal niets af te lezen. Je kunt bijvoorbeeld uit deze grafiek niet aflezen dat op het 30ste veld ongeveer een miljard korrels liggen.

Hoe krijgen we hier een "fatsoenlijke" grafiek uit?

Een oplossing om die enorm grote getallen wat in de hand te houden is:  zet op de y-as niet de getallen 1, 2, 3, ... maar de machten van 10:  101, 102, 103, ....  (dus 10, 100, 1000, ....). Dan wordt bovenstaande grafiek slechts zo'n 20 vakjes hoog en is er toch ook ruimte om de getallen op de eerste paar velden aan te geven. Kijk maar:

Hier staan op de y-as dus de getallen  1, 10, 100, 1000, 10000, ....

Nu is wel te zien welk aantal korrels ongeveer bij veld 30 en andere velden hoort. Veel beter!
Zo'n schaalverdeling waarbij dus niet de getallen zlf regelmatig oplopen, maar de machten van 10 heet een logaritmische schaalverdeling.

Logaritmische schaalverdeling:  de machten van 10 zijn regelmatig.

Zo'n schaalverdeling is dus erg handig als je in n grafiek zowel hele grote getallen als hele kleine getallen wilt aangeven.
Het vreemde papier hierboven heet enkellogaritmisch papier."Enkel" omdat er n as (in dit geval de y-as) zo vreemd veranderd is. De andere (x-as) is normaal.
Het filmpje hiernaast geeft je een idee van hoe snel dat gaat op een logaritmische schaal en wat je er allemaal op kwijt kunt.

ONDERVERDELEN

Stel we hebben een logaritmische schaal waar dit een klein stukje van is (deze keer horizontaal getekend om papier te sparen):

En stel dat we nu het getal 750 op deze schaal willen aangeven. WAAR LIGT DAT?
Nou ja, natuurlijk daar ergens tussen 100 (102) en 1000 (103) maar waar?????
Denk om de hoofdregel:

De machten van 10 zijn regelmatig.

Dat betekent dat we 750 kunnen tekenen als we weten hoeveelste macht van 10 dat is.
Dus de vraag is  10? = 750.

De oplossing is simpel: gebruik de GR!!!!
Y1 = 10^X en  Y2 = 750 en dan intersect levert  X = 2,87

Verdeel het stuk tussen 100 en 1000 in deelstreepjes (102,1  -  102,2  -  102,3  -  ...) en je hebt de plaats van 750:

Bij de rode pijl staat 750.
En net zo staat bij de blauwe pijl het getal 103,6 = 3981.
HELP! Er is geen x-as!!

Deze schaalverdeling heeft geen x-as!!!!
Dat komt omdat "tien-tot-de-macht"  kan nooit nul worden.

Kijk maar hiernaast: als je de machten van 10 laat afnemen tot  -2, -3, -4 enzovoorts, dan worden de "echte"getallen kleiner en kleiner:  0.01,  0.001,  0.0001 enzovoorts. Het papier wordt verder en verder uitgerekt. NUL zal zo nooit worden bereikt.

Alhoewel er op zulk papier meestal wel een horizontale lijn met een schaalverdeling wordt getekend is het dus NIET de x-as. Die is er namelijk niet (hij ligt eigenlijk oneindig ver omlaag).

   
   
OPGAVEN
1. Geef op de logaritmische schaal hieronder de volgende getallen aan:
a.    50 b.    900 c.    1100 d.    4500

2. Welke getallen horen bij de pijlen op de volgende logaritmische schalen?

3. Op de volgende logaritmische schaal staat het gewicht (in kg) van een aantal dieren.

a. Hoeveel weegt een witte haai?
     
b. Welke dieren schelen meer in gewicht: een rat en een bison of een nijlpaard en een witte haai?
     
c. Hoeveel katten heb je nodig om het gewicht van een blauwe vinvis te krijgen?
4. Voor een aantal diersoorten is onderzocht of er een verband bestaat tussen het lichaamsgewicht (B in kg) en het hersengewicht (H in gram).  Om van alle soorten de gegevens in n figuur duidelijk te kunnen weergeven is log B uitgezet tegen log H. Het resultaat is de figuur hiernaast. Hierin is een rechte lijn getekend die goed bij deze punten past.

     
  a. Hoeveel procent van het gewicht van een konijn bestaat uit hersenen?
     
  b. Het hersengewicht van een muis is ongeveer 0,4 gram, en het lichaamsgewicht is ongeveer 20 gram. Teken de plaats van de muis in de figuur hiernaast.
   
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2021-II.

In oktober 2017 publiceerde PLOS One  (een internationaal online tijdschrift)  een onderzoek naar de afname van insecten in natuurgebieden in Duitsland.
In de periode 1989-2016 zijn in diverse Duitse natuurgebieden insecten in vallen gevangen. De insecten werden niet geteld, maar de onderzoekers noteerden dagelijks het gewicht van alle insecten in zon val. Vervolgens hebben de onderzoekers voor elk jaar het gemiddelde gewicht per val per dag berekend. Aan de hand van dit gemiddelde gewicht konden de onderzoekers een uitspraak doen over de toename of afname van het aantal insecten.
In deze opgave is het gemiddeld gewicht G steeds het gemiddeld gewicht per val per dag in gram. In onderstaande figuur zijn de resultaten van het onderzoek weergegeven.

     
 
     
  In deze figuur is G uitgezet tegen de tijd t in jaren, met t = 0 in 1989. De schaalverdeling op de verticale as is logaritmisch. Je kunt in de figuur bijvoorbeeld aflezen dat in 1989 het gemiddeld gewicht G gelijk was aan 8,4 gram.

In een krant stond dat de hoeveelheid insecten in de Duitse natuurgebieden in 27 jaar met ruim 75% afgenomen is.

Onderzoek met behulp van de figuur of een afname van ruim 75% in de periode 1989-2016 te verdedigen is.
     
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)