logistische groei


Logistische groei.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Bij logistische groei is de toename per stap evenredig met het aantal u_n_-1 en ook met de groeiruimte G - u_n _{- 1} .
Je ziet dat soort groei vaak in de biologie bij toename van aantallen diersoorten.
In het begin, als er nog genoeg ruimte is, neemt het aantal dieren van een bepaalde soort ongeveer exponentieel toe. Immers als elk exemplaar een gemiddeld aantal nakomelingen produceert, dan is "hoeveel erbij komen" evenredig met "hoeveel er zijn", en dat geeft exponentiële groei.
Maar als er meer en meer exemplaren komen, dan wordt de leefruimte een beperkende factor, bijvoorbeeld door voedselgebrek. Stel dat er plaats is voor maximaal G exemplaren, dan is de beschikbare ruimte evenredig met aan G - u_n.
Dat geeft als recursievergelijking:

u_n = u_{n -}₁ + c • u_n_{- 1} • (G - u_n
-₁)

Het levert een S-vormige grafiek op, ongeveer zoals hiernaast.
De algemene vergelijking van logistische groei ziet er als volgt uit:

Met G de grenswaarde en c en a constanten, afhankelijk van de beginwaarde en de groeisnelheid.

(de afleiding van deze formule is nogal lastig, daarvoor moet je kennis hebben van differentiaalvergelijkingen. Met name van deze les.)

Hoe herken ik zulke groei?

Logistische groei voldoet aan een erg eenvoudige regel:

Met formules betekent dat:

Het is eenvoudig in te zien dat dit inderdaad leidt tot een formule van de eerder gegeven vorm, kijk maar:

Dat is inderdaad de eerder gegeven formule, met B = c en g = e^-a.

voorbeeld.

De volgende tabel voldoet aan logistische groei met een grenswaarde van G = 1200.
Toon aan dat dat inderdaad zo is, en geef een formule voor N(t)

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N(t)	63	88	122	167	225	298	385	483	589	695	796

oplossing:
vul de tabel aan met een rij 1200 - N en een rij ^{(1200 - N)}/_N:

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N(t)	63	88	122	167	225	298	385	483	589	695	796
1200 - N	1137	1112	1078	1033	975	902	815	717	611	505	404
^{(1200 - N)}/_N	18,05	12,64	8,84	6,19	4,33	3,03	2,12	1,48	1,04	0,73	0,51

De groeifactoren van de onderste rij zijn ^12,64/_18,05, ^8,84/_12,64, ^6,19/_8,84, ^4,33/_6,19, ...enz.
Dat is steeds 0,7.
Die onderste rij vertoont dus exponentiële groei met B = 18 en g = 0,7.

OPGAVEN

De volgende tabel beschrijft logistische groei met een grenswaarde van 5000.

t	0	10	20	30	40
A(t)	125	609	2563	6957	10501

Toon aan dat de groei inderdaad logistisch is

Geef een formule voor A(t)

De volgende tabel geeft de resultaten van een studie door het "World Economic Forum (WEF)" ) waaruit blijkt dat de groei van het aantal auto's op de wereld aan het afnemen is. De tabel geeft aan in welk jaar voor het eerst een bepaalde grootte van het aantal auto's bereikt zal worden. Er blijkt in het model sprake te zijn van logistische groei met G = 2,5 miljard.

jaar	1915	1928	1940	1964	1991	2007	2025	2041	2050
wereldbevolking (in miljarden)	0,145	0,237	0,3644	0,781	1,444	1,811	2,114	2,283	2,346

Noem t = 0 in 1900 en onderzoek welke vergelijking het best past bij de grootte van het aantal auto's ter wereld als functie van t

Neem de volgende vergelijking voor logistische groei:

Onderzoek voor welke waarden van t er (ongeveer) sprake is van exponentiële groei. Bereken de waardes van g in één decimaal nauwkeurig.

De grafiek is weer een S-kromme. Onderzoek met je GR bij welke t de grafiek overgaat van toenemende stijging naar afnemende stijging.

Neem aan dat een eikenboom in een park logistisch groeit vanaf het moment dat hij geplant wordt geboorte (120 cm hoog) tot aan zijn volgroeide lengte volwassen lengte (2300 cm hoog). Als de boom 60 jaar na aanplant 80% van de volgroeide hoogte heeft bereikt, op welke tijdstip na aanplant groeit hij dan het snelst?