© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Groeifactoren
       
Laten we beginnen met een eenvoudig IQ-testje.
In elke IQ-test zitten wel een aantal vragen van de categorie "Wat is de volgende in de rij?"
Hier zijn een aantal zulke rijtjes.
Kun je het volgende getal noemen?
       
A    2   -    8   -   32   -   128   -   512   -   .....
B    6   -   9   -   12   -   15   -   18   -   ....
C    12   -   20   -   28   -   36   -   44   -   ....
D    12   -   36   -   108   -   324   -   972   -   ....
E    120   -   24   -   4,8   -   0,96   -   0,192   -   .....
F    48   -   43,5   -   39   -   34,5   -   30   -   ....
G    32   -   33,8   -   35,6   -   37,4   -   39,0   -   ....
H    100   -   50   -   25   -   12,5   -   6,25   -   ....
I    10,8   -   19,44   -   34,992   -   62,9856   -   ....  
       
Als je bovenstaande rijen in twee categorieën zou moeten indelen, hoe zou je dat dan doen?

Waarschijnlijk heb je het wel door. 
We hebben hierboven te maken met twee systemen:  een optelsysteem (BCFG)  en een vermenigvuldigsysteem (ADEHI).

JA MAAR...
Wie goed heeft opgelet zal nu zeggen:  "Ja maar bij F wordt niet opgeteld maar afgetrokken en bij  H en E wordt niet vermenigvuldigd maar gedeeld".
Dat klopt, maar wiskundig gezien zijn optellen en aftrekken eigenlijk hetzelfde!!! 
En vermenigvuldigen en delen ook!!!!
Kijk maar:  
Bij F was het steeds -4.5 maar ergens 4.5 van aftrekken is hetzelfde als het negatieve getal -4.5 er bij optellen!  48 - 4.5  =  48 + (-4.5)
En op dezelfde manier is bij E:  120 : 5  = 120 • 0,2  (delen door 5 is vermenigvuldigen met 1/5)

Dat optelsysteem dat kennen we natuurlijk al lang:   Lineair.

Dat vermenigvuldigsysteem is nieuw; het heet  Exponentieel.

Groeifactor.

Het getal waar elke keer mee wordt vermenigvuldigd in zo'n exponentieel systeem heet de groeifactor, en we gebruiken er meestal de letter g voor.
 
vermenigvuldiggetal   =  groeifactor  =  g
 

Dus:

2   -    8   -   32   -   128   -   512   -   .....  heeft groeifactor 4
12   -   36   -   108   -   324   -   972   -   ....  heeft groeifactor 3
120   -   24   -   4,8   -   0,96   -   0,192   -   .....  heeft groeifactor 0,2
100   -   50   -   25   -   12,5   -   6,25   -   .... heeft groeifactor 0,5
10,8   -   19,44   -   34,992   -   62,9856   -   ....    heeft groeifactor 1,8

Merk nog op dat je die groeifactor kunt vinden door steeds een getal te delen door het vorige getal.
Zo is bijv.  4 = 32/8  en  3  = 36/12  en   0,2 = 0,96/4,8  en  0,5 = 25/50  en  1,8 = 34,992/19,44


Onderzoek nu eerst van onderstaande tabellen welke (bij benadering) een vermenigvuldigtabel is en geef als dat zo is de groeifactor  g  van dat systeem.

   
tabel A
x 1 2 3 4 5
y 16,2 29,2 52,5 94,5 170,1
tabel B
x 5 6 7 8 9
y 325,4 312,9 300,4 287,9 275,4
   
tabel C
x 3 4 5 6 7
y 4,5 8,0 12,5 18,0 24,5
tabel D
x 12 13 14 15 16
y 78,4 70,6 63,5 57,2 51,4
   
tabel E
x 5 6 7 8 9
y 75 108 147 192 243
tabel F
x -5 -4 -3 -2 -1
y 6,10 4,88 3,91 3,13 2,50
       
Waar zijn we die groeifactoren  eerder tegengekomen?
       
Dat was bij procentberekeningen!!

Als je bijvoorbeeld €300 op de bank hebt staan en je krijgt elk jaar 3% rente, dan is dat hetzelfde als elk jaar je bedrag  vermenigvuldigen met 1,03.  Dus bij 3% toename hoort g = 1,03

Als je Als bijvoorbeeld het ledenaantal van een sportclub elk jaar met 5% daalt, dan is dat hetzelfde als elk jaar dat aantal vermenigvuldigen met 0,95. Dus bij 5% afname hoort  g = 0,95.  Daar zien we een belangrijke eigenschap vam g:
       

Bij afname zegt  g  hoeveel er elke keer overblijft

       
Voorbeeldjes
Bij 34% toename hoort g = 1,34.
Bij 12% afname hoort g = 0,88  want dan blijft 88% over.
Bij 0,2% toename hoort  g = 1,002.
Bij 0,3% afname hoort  g = 0,997, want dan blijft 99,7% over
Bij 120% toename hoort g = 2,20.

Voor de liefhebbers van formules:

g  =  1 +  p/100

       
Daarin is g de groeifactor en p het percentage toename of afname (p is negatief bij afname)
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Onderzoek bij de volgende verhaaltjes welk hoort bij een exponentieel systeem en welk niet. Geef bij de exponentiële verhaaltjes de groeifactor g.
       
  a. In een telefoonketen moet elke persoon drie anderen opbellen.
  b. De woningbouwvereniging  haalt elke maand €400 huur van mijn rekening.
  c. Ik zet mijn spaargeld op een rekening waarover ik elk jaar 4% rente krijg, en die rente wordt er bijgestort.
  d. Een schaatser schaatst de 10 km maar doet elk rondje 0,2 seconde langzamer dan het vorige.
  e. Ik werk al 20 jaar bij hetzelfde bedrijf en heb elk jaar €200,- loonsverhoging gekregen.
  f. Als licht door glas gaat absorbeert elke mm dikte van het glas 5% van het licht dat er binnenkomt.
  g. Als ik woordjes geleerd heb vergeet ik daarna elk uur 2% van de woordjes die ik in het begin van dat uur ken.
       
2. Hoe groot is de groeifactor in de volgende gevallen?
       
  a. 5,4%  toename  
  b. 0,02% toename  
  c. 54% toename  
  d. 6%  afname  
  e. 76% afname  
  f. 0,08 % afname  
       
3. Welk rentepercentage hoort bij de volgende groeifactoren?
       
  a. g = 1,0856  
  b. g = 1,004  
  c. g = 0,96  
  d. g = 5,43  
       
4. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2014.

Wikipedia is een internationale internet-encyclopedie.
In maart 2012 bevatte de Nederlandstalige editie ruim één miljoen artikelen. In de tabel staan gegevens van 2012.
       
 
datum 22 maart 29 maart 5 april 12 april 19 april
aantal 1033414 1034660 1035882 1037184 1038340
       
  Zoals in bovenstaande tabel te zien is, groeit het aantal artikelen flink.
Sommigen beweren dat hier sprake is van lineaire groei, anderen houden het op exponentiële groei.
Onderzoek elk van deze beweringen.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)