| Omdat we weten dat glogx
de inverse is van gx kunnen makkelijk de grafiek
van glogx met zijn eigenschappen afleiden uit
de grafiek van gx immers de regel was: |
|
|
| De
grafiek van f en finv
zijn elkaars
gespiegelde in de lijn y = x |
|
|
|
| Er waren twee soorten grafieken
voor gx namelijk voor 0 < g < 1 en
voor g > 1. Dus zullen er ook twee verschillende grafieken voor glogx
zijn. Hieronder zijn die getekend. |
|
|
|
 |
|
|
De beide blauwe grafieken zijn
"nieuw" . Het zijn de grafieken van glogx
en ze zijn gevonden door de rode grafieken te spiegelen in de lijn
y = x. Omdat de grafieken van gx beiden
een horizontale asymptoot y = 0 hadden, hebben de grafieken
van glogx beiden een verticale asymptoot x
= 0 (die is gewoon meegespiegeld natuurlijk)
Verder hadden de grafieken van gx bereik
〈0,→〉 dus hebben de grafieken van glog
x domein 〈0,→〉
Dat is een belangrijke eigenschap: |
|
|
| glogx
bestaat alleen voor x > 0 en de grafiek heeft bij x
= 0 een asymptoot |
|
|
|
|
Transformaties. |
| |
|
Natuurlijk kun je ook op de
glog-grafieken weer allerlei transformaties toepassen.
Dat levert samen met de rekenregels voor logaritmen soms verrassende
resultaten op.
Eerst maar even de transformaties herhalen: |
| |
| grafiek a
omhoog schuiven |
⇒ f(x) wordt
f(x) + a |
| grafiek
a naar rechts schuiven |
⇒ elke x
vervangen door (x -
a) |
| afstand tot de x-as a
keer zo groot |
⇒
vermenigvuldig de hele formule met
a |
| afstand
tot de y -as a keer zo groot
|
⇒
vervang elke x
door (1/a
• x) |
| spiegelen
in de x-as |
⇒
minteken voor de hele formule |
| spiegelen in
de y -as |
⇒
vervang elke
x door -x |
|
|
| |
| |
Voorbeeld:
f(x) = 3 + 2 ×
2log(x - 5).
Schets de grafiek van f(x) en leg uit door
welke transformaties deze grafiek ontstaat uit de grafiek
van y = 2log(x)
Oplossing:
Met de formules zou er dit kunnen gebeuren:
Begin met y = 2log(x).
vervang elke x door (x -
5). Dat geeft y = 2log(x
- 5) en dat was een translatie 5
naar rechts.
vermenigvuldig de hele formule met 2. Dat geeft y
= 2 × 2log(x
-
5) en dat was een vermenigvuldiging ten opzichte van
de x-as met factor 2.
Doe de hele formule + 3. Dat geeft y
= 3 + 2log(x -
5) en dat was een translatie 3 omhoog.
In plaatjes gebeurt er het volgende:
De slotgrafiek gaat door (6, 3)
en heeft verticale asymptoot x = 5
|
|
| |
Samenvallende transformaties.
Soms geven twee transformaties het zelfde resultaat.
Neem bijvoorbeeld de grafiek van y = 4logx
Je zou daarbij x kunnen vervangen door 2x. Dat
betekent een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met
factor 1/2. Ofwel: de afstand tot de y-as wordt de helft.
Je zou ook de hele formule +0,5 kunnen doen. Dat betekent een translatie
2 omhoog.
Beide gevallen zie je hieronder: |
| |
|
 |
| |
Maar dat lijkt wel dezelfde
slotgrafiek op te leveren!!!
Dat dat inderdaad zo is kun je natuurlijk heel snel bewijzen, kijk maar:
4log(2x) = 4log(x) + 4log(2)
= 4log(x) + 4log(40,5) = 4log(x)
+ 0,5 |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN |
| |
|
| 1. |
Schets de grafieken en geef de
asymptoten bij de volgende functies: |
| |
|
|
|
|
|
|
a. |
f(x) = 0,25log(x) |
c. |
f(x) = 5 + 3logx |
| |
|
|
|
|
|
|
b. |
f(x) = 4log(x
- 2) |
d. |
f(x) =
3log(6 - x) |
|
|
|
|
|
|
| 2. |
Gegeven is de functie f(x)
= 3log(x - 2) |
| |
|
|
|
a. |
Schets de grafiek van f. |
| |
|
|
|
b. |
De grafiek van f wordt zó
verschoven dat hij door het punt (6, 4) gaat. Dat
kan op allerlei manieren.
Geef twee mogelijke nieuwe formules. |
|
|
|
|
|
|
| 3. |
Gegeven is de functie f(x)
= 0,2log(4x) |
| |
|
|
|
a. |
Schets de grafiek van f. |
| |
|
|
|
b. |
Hoe ontstaat de grafiek van g(x)
= 0,2log(8x) uit de grafiek van f
? |
|
|
|
|
|
|
| 4. |
Gegeven zijn de functies f(x)
= 3logx en g(x) =
3logx
+ 2 |
| |
|
|
|
a. |
Hoe ontstaat de grafiek van g
uit die van f ? |
|
|
|
| |
|
|
De lijn y = p snijdt de
grafiek van f in punt A en de grafiek van g in
punt B.
Dan geldt voor de afstand AB de formule: AB =
8/9 •
3p |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
b. |
Toon dat aan. |
| |
|
|
| |
c. |
Voor welke p is AB = 24?
Geef je antwoord exact! |
| |
|
|
| 5. |
Gegeven is de grafiek van f(x) = 0,2log(x) |
| |
|
|
|
|
| |
a. |
Je kunt deze grafiek 3 omlaag schuiven, maar je kunt ook de
afstand tot de y-as p keer zo groot
maken.
Hoe groot moet p zijn om hetzelfde resultaat te krijgen? |
| |
|
|
|
|
| |
b. |
Welke transformatie kun je op de grafiek van f
toepassen om de grafiek van y = 0,2log(5x)
te krijgen?
Geef twee verschillende mogelijkheden. |
| |
|
|
|
|
 |
| |
|
|
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
