© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een standaardformule voor vermenigvuldig-systemen.
Eerst nog even wat namen.....:
•  Het vermenigvuldiggetal noemen we voortaan de GROEIFACTOR:  g
•  Een vermenigvuldig-systeem noemen we voortaan  EXPONENTIEEL
•  De waarde waar we mee beginnen noemen we voortaan de BEGINWAARDE:  B
B en g bepalen helemaal hoe de getallen eruit zullen zien. Immers B zegt waar je moet beginnen (welke waarde hoort bij x = 0) en g zegt hoe elk getal ontstaat uit de vorige (waar je mee moet vermenigvuldigen).
Neem bijvoorbeeld  B = 10 en g = 2,3  dan vinden we:
x = 0   ;    y =  B = 10, 
x
= 1   ;    y = 10 • 2,3 = 23
x = 2   ;    y = 23 • 2,3 = 52,9
x = 3   ;    y = 52,9 • 2,3 = 121,67
enz.
Een formule maken.

Neem het volgende voorbeeld:

Een exponentieel proces heeft  B = 100 en g = 0,9.  Bereken welke y er hoort bij x = 14.

Dan moet je dus uitrekenen  100  • 0,9  • 0,9  • 0,9  • ....   en dat dan 14 keer.
Daar hoort deze tabel bij (de y-waarden zijn afgerond):

Dat is nogal veel werk. Kan dat niet handiger?
Als we de tussenliggende getallen in deze tabel weglaten, dan krijgen we:

Daaruit is te zien dat  100 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 = 23
en daar staat 14 keer 0,9.
Dan geldt dus  100 • 0,914 = 23

BINGO!

Zo kun je elke y uitrekenen.
We hebben gebruikt  23 = y  en  100 = B  en  0,9 = g  en  14 = x
Met letters krijgen we de basisformule:

y = B • gx

Een erg belangrijke formule. De basisformule voor exponentiλle processen.
Daarin is dus:
   
y = B • gx

y
= eindhoeveelheid
B = beginhoeveelheid
g = groeifactor
x = aantal stapjes.
   
Het vinden van B.
   
Je kunt B natuurlijk vinden door te kijken hoe groot de waarde van y is bij x = 0.

Maar dan moet je die wel weten!

Als die waarde onbekend is, kun je B het handigst vinden door in de formule y = B • gx  waarin g al bekend is gewoon een punt (x, y) in te vullen. Dan is B de enige onbekende en kun je hem berekenen.
   

B berekenen     punt invullen!

   
Voorbeeld:  Geef de exponentiλle formule die hoort bij de volgende tabel;
   
x 120 121 122 123
y 5,3826 5,4902 5,6000 5,7120
   
De factoren zijn achtereenvolgens  5,4902/5,3826 = 1,02 en   5,6000/5,4902 = 1,02  en   5,7120/5,6000 = 1,02
De groeifactor is dus g = 1,02 en de formule is  y = B • 1,02x
Vul bijv.  (120, 5.3826)  in:  
5,3826 = B • 1,02120 
 5,3826 = B • 10,765  
 B = 5,3826/10,7652 = 0,5
De formule is dus  y = 0,5 • 1,02x
   
  OPGAVEN
1 Geef een exponentiλle formule die hoort bij de volgende tabellen:
Tabel A
x 2 3 4 5 6
y 3,60 4,32 5,18 6,22 7,46
Tabel B
x 5 6 7 8 9
y 0,163 0,131 0,105 0,084 0,067
   
Tabel C
x -6 -5 -4 -3 -2
y 0,046 0,094 0,188 0,375 0,750
Tabel D
x 1 2 3 4 5
y 0,03 0,09 0,27 0,81 2,43
   
2. Ik zet een bedrag van €2500,- op de bank.
De eerste 5 jaar krijg is 3% rente, en vanaf dan krijg ik 5% rente.
Die rente wordt bijgestort op de rekening.

Bereken hoeveel geld ik na 20 jaar op deze rekening zal hebben staan.
       
3. De meeste ballonnen zijn gemaakt van latex. Latex is echter niet helemaal luchtdicht, waardoor ballonnen langzaam leeglopen. Hoe snel dat gaat, hangt af van veel factoren.

Een ballon wordt gevuld met 9,4 dm3 ballongas, maar door lekkage lekt er elk uur 2,3% weg.
Stel een formule op voor de hoeveelheid ballongas in de ballon, en bereken hoeveel ballongas er na 24 uur uit de ballon is weggelekt.

       
4. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2021-II.

Hieronder zie je de procentuele verandering van de gemiddelde prijs van woningen in Nederland ten opzichte van het jaar ervoor.
       
 

       
  Bijvoorbeeld –6% op 1-1-2013 betekent dat tussen 1-1-2012 en 1-1-2013 de gemiddelde prijs van een woning in Nederland met 6% is gedaald.

Bereken met behulp van de figuur met hoeveel procent de gemiddelde prijs van woningen in Nederland tussen 1-1-2012 en 1-1-2017 is toegenomen. Geef je antwoord in hele procenten.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)