© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

ExponentiŽle groei aantonen.
       
Laten we een willekeurige tabel nemen:
       
t 4,0 7,0 9,2 12,8
N 7,43 16,31 29,06 74,72
       
De vraag is nu:   beschrijft deze tabel een exponentieel verband, en kunnen we daar een formule van vinden?

We kunnen nu niet gewoon kijken of de N-getallen elke keer met dezelfde factor worden vermenigvuldigd, omdat de stapjes van de t niet even groot zijn.

Laten we het daarom per geval apart bekijken:
 
ē Tussen t = 4,7 en t = 7,0 neemt N toe met groeifactor 16,31/7,43 = 2,1951
Maar dat zijn  3 stapjes, (van 4,0 naar 7,0) dus g3 = 2,1951
De GR geeft dan  g = 1,3   (Y1 = X^3 en Y2 = 2,1951 en dan intersect)
ē Tussen t = 7,0 en t = 9,2 neemt N toe met groeifactor 29,06/16,31 = 1,7817
Maar dat zijn  2,2 stapjes, (van 7,0 naar 9,2) dus g2,2 = 1,7817
De GR geeft dan  g = 1,3   (Y1 = X^2,2 en Y2 = 1,7817 en dan intersect)
ē Tussen t = 9,2 en t = 12,8 neemt N toe met groeifactor 74,72/29,06 = 2,5712
Maar dat zijn  3,6 stapjes, (van 9,2 naar 12,8) dus g3,6 = 2,5712
De GR geeft dan  g = 1,3   (Y1 = X^3,6 en Y2 = 2,5712 en dan intersect)
       
Alle gevonden g's zijn gelijk dus er is sprake van exponentiŽle groei.
       
exponentiŽle groei:   alle g's zijn gelijk.
       
We weten nu dat de g per stapje gelijk is aan 1,3.
De formule wordt dan   N = B ē 1,3t 

Kies nu een willekeurig punt van de tabel, bijvoorbeeld  t = 4,0  en  N = 7,43
Vul dat in:   7,43 = B ē 1,34,0    dus  7,43 = B ē 2,8561
Dan is B  = 7,43/2,8561 = 2,6
De formule is dus  N = 2,6 ē 1,3t
       
Grafieken van exponentiele groei.
       
ExponentiŽle grafieken zijn altijd gekromde grafieken, maar er zijn twee soorten.
Er zijn grafieken die toenemen (stijgen) en grafieken die afnemen (dalen).
Dat is natuurlijk ook logisch, want als g groter dan 1 is, dan neemt de hoeveelheid toe, en als g kleiner dan 1 is, dan is er afname.

Dat geeft de volgende twee soorten grafieken:
       

       
Je ziet dat de B het beginpunt op de y-as is, net zoals bij rechte lijnen dat b was  (van y = ax + b, weet js nog?).
0 < g < 1 betekent dat g tussen 0 en 1 zit  (gevallen waarbij g kleiner dan 0 is zullen we niet tegenkomen).

Bovenstaande grafieken zijn alleen getekend voor x > 0 omdat dat in de meeste gevallen ook zo is.
Als je ze doortrekt voor x < 0 dan krijg je de volgende twee grafieken:
       

       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Geef een formule voor onderstaande exponentiŽle tabellen. Toon eerst aan dat het gaat om een exponentieel verband.
       
  a.
x 0,9 4,5 6,2 8,9 12,1 13,4
y 8,5 70 191 935 6134 13171
       
  b.
x -8,7 -7,6 -4,4 -3,5 -2,1 -1,8
y 5,00 4,45 3,18 2,89 2,50 2,42
       
2. Hieronder staan 3 grafieken van de vorm  y = B ē gx 
Bepaal van elk van deze grafieken de waarden van  B  en g.
       

       
3. De dikte van de ozonlaag neemt de laatste tijd onrustbarend af, vooral door het gebruik van drijfgassen in spuitbussen. Metingen leverden de volgende tabel:
       
 
jaar dikte in m
1980
1981
1982
1983
1486
1441
1398
1356
jaar dikte in m
1984
1985
1986
1987
1316
1276
1238
1201
       
  a. Bewijs dat deze afname exponentieel is en geef een formule voor de dikte (D) als functie van de tijd t (in jaren met t = 0 in 1980)
       
  b. In hoeveel tijd halveert de dikte van de ozonlaag?
       
4. Het stralingsniveau (S) op en bepaalde plaats direct na het inslaan van een langeafstandsraket met nucleaire kop hangt af van de afstand (a in km) tot de plaats van inslag. Metingen leverden de volgende tabel:
       
 
stralingsniveau (S) 161000 108000 32600 12000 4400
afstand (a) 2 4 10 15 20
       
  Er blijkt te gelden  S(a) = 240000 ē 0,8a
       
  a. Leg duidelijk uit hoe deze formule uit bovenstaande tabel valt af te leiden. Toon daarbij eerst aan dat het hier gaat om exponentiŽle afname.
       
  b. De voor een mens dodelijke dosis straling is 200 of meer. Tot welke afstand vanaf de plaats van inslag zullen er direct doden gaan vallen?
       
5. Examenopgave HAVO Wiskunde A, 2022-I

In 2015 was het jaargemiddelde van de CO2-concentratie in de lucht 400,8 ppm (parts per million: het aantal CO2-deeltjes per miljoen luchtdeeltjes)
Wereldwijd worden er afspraken gemaakt met als doel de CO2-concentratie omlaag te brengen. Veronderstel dat het inderdaad lukt om de CO2-concentratie na 2015 zodanig te laten dalen dat het jaargemiddelde in 2050 nog maar 350 ppm is. Dan kan er bijvoorbeeld sprake zijn van afname volgens
- een lineair verband of
- een exponentieel verband.

In beide gevallen is het jaargemiddelde in 2015 gelijk en is ook het jaargemiddelde in 2050 gelijk. Echter, een CO2-concentratie van bijvoorbeeld 375 ppm wordt in het ene geval op een eerder moment bereikt dan in het andere geval.

Leg uit, zonder berekeningen te geven, in welk van de twee genoemde gevallen de CO2-concentratie het eerst de waarde 375 ppm bereikt.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)