© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Grafiekenbundels.
       
Als je een formule met twee variabelen hebt, dan kun je daar sinds de brugklas een grafiek bij tekenen
Je zet de ene variabele (x) op de horizontale as en de andere (y) op de verticale as. Dan reken je voor een heleboel waarden van x uit welke y erbij hoort en die getallenkoppels zet je als punt in de grafiek. Tot slot verbind je al die punten zo goed mogelijk met elkaar.

Maar wat te doen als er méér dan 2 variabelen in de formule staan?
Hoe kun je drie letters kwijt op twee assen?

Voorbeeld:  De Body-Mass-Index.

De Body-Mass-Index (BMI) is een getal dat aangeeft hoe gezond iemand qua gewicht is.
De formule die daarbij hoort is:

       
Daarin is  G = gewicht in kg,  L = lengte in m  en   BMI = Body-Mass-Index
Dat zijn dus drie variabelen dus dat valt niet te tekenen.

Hoe het toch een beetje kan....

Er is een soort van oplossing om in zulke gevallen toch een grafiek te kunnen maken.
Dat gaat zo:
Kies voor L allemaal lengtes, bijvoorbeeld  L = 1.2  en  1.4  en 1.6  en  1.8 meter.
Voor elke L apart kun je nu wel een grafiek tekenen.
Bijvoorbeeld als L = 1,2  dan geeft de formule  BMI = G/1,22² = G/1,44 en die grafiek kun je tekenen.

Dat geeft zo dus VIER aparte grafieken, elk met een eigen waarde van L.
Die vier grafieken teken je nu in één figuur en bij elke grafiek schrijf je de bijbehorende waarde van L.
Dan krijg je zoiets:
       

       
Zo'n serie grafieken heet een grafiekenbundel.

Maar ja ik hoor je al zeggen:  "In plaats van voor L allerlei getallen zomaar te kiezen, kun je natuurlijk ook voor G allerlei getallen kiezen, en dat geeft hele andere grafieken"
Dat klopt inderdaad!
Als je bijvoorbeeld voor G de getallen 40 en 60 en 80 en 100 kg kiest, dan krijg je hele andere formules.
G = 40 zou bijvoorbeeld geven  BMI = 40/
Dan krijg je de volgende grafiekenbundel:
       

       
Hier staan L en BMI op de horizontale en verticale as, en bij de grafieken staat steeds G gegeven.

Aflezen uit grafiekenbundels.

Uit een grafiekenbundel valt veel af te lezen.
Hieronder twee voorbeelden.
       
Voorbeeld 1.

Een man van 1,80 m lang weegt 60 kg.
Hoeveel neemt zijn BMI toe als hij 20 kg zwaarder wordt?


De persoon is de hele tijd 1,80 m en dat betekent dat we op de rode stippellijn hiernaast moeten blijven.
G = 60 hoort bij de onderste gele stip en daarbij is ongeveer BMI = 18 af te lezen bij de groene lijn.

20 kg zwaarder betekent G = 80 en daarbij hoort de bovenste groene lijn, dus BMI ongeveer 25.

Dat is een toename in BMI van 7

       
Voorbeeld 2.

Bij een vrouw van  1,60 m lang neemt het BMI af van 30 naar 20.
Hoeveel kg is zij afgevallen?

 

L = 1,60 betekent dat we vastzitten op die dikke groene lijn hiernaast.
BMI = 30 geeft dan  G = 77 (blauwe lijnen)
BMI = 20 geeft  G = 51 (rode lijnen)
Zij is dus 26 kg afgevallen.

Een derde bundel.
       
Er is nog een derde mogelijkheid om in bovenstaand geval een grafiekenbundel te tekenen, en dat is:  Kies voor BMI allerlei getallen.
Als je bijvoorbeeld kiest  BMI = 25 dan geeft dat  25 = G/ 
Nu kun je een grafiek maken met op de assen L en G  en bij de lijnen dan BMI = 25
(Het is misschien handig om de formule om te bouwen tot  G = 25L2)
Kies je G op de verticale as en L op de horizontale as dan geeft dat voor  BMI = 18,5 en BMI = 25 en BMI = 30 de volgende grafiekenbundel:
       

       
Ik heb die getallen  18.5 en 25 en 30 gekozen omdat algemeen wordt gesteld:
• BMI onder 18,5  is ondergewicht
• BMI tussen 18,5 en 25 is gezond gewicht
• BMI tussen 25 en 30 is overgewicht
• BMI boven de 30 is zwaar overgewicht (obesitas)

Dan kun je in bovenstaande grafiek mooi de vier gebieden aflezen van mensen met ondergewicht gezond gewicht, overgewicht en obesitas.
       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2000.

Als je een huis koopt,  moet je meer betalen dan alleen de koopsom. Je moet bijvoorbeeld belasting betalen en de kosten van de notaris. Deze bijkomende kosten zijn voor een nieuwbouwhuis ongeveer 6% van de koopsom en voor een bestaande woning ongeveer 12%

Iemand heeft een bestaande woning gekocht.
De koopsom en de bijkomende kosten hebben haar in totaal 300000 gulden gekost.

       
  a. Bereken de koopsom.
       
  De meeste mensen die een huis willen kopen lenen daarvoor geld bij de bank. Zo'n lening wordt een hypotheek genoemd. Het hoogste bedrag dat iemand kan lenen heet de haalbare hypotheek. Deze hangt af van het jaarinkomen van de persoon die de hypotheek aanvraagt. Verder hangt deze ook af van de rente die over de hypotheek betaald moet worden.

In een brochure over hypotheken van bank X zijn onderstaande grafieken opgenomen.

       
 

       
  H: haalbare hypotheek (×1000 gulden)
I: jaarinkomen  (×1000 gulden)
R: rentepercentage.

Iemand heeft een jaarinkomen van 50 000 gulden. Hij wil een huis kopen. Daarvoor heeft hij 220 000 gulden nodig. Hij wil dat hele bedrag lenen. De rente is 5%.

       
  b. Onderzoek met behulp van de figuur hierboven of de hypotheek die hij kan krijgen voldoende is om dit huis te kopen.
       
2. Examenvraagstuk  VWO Wiskunde C, 2021-I

Zwembad De Wisselslag in Blerick (Limburg) heeft drie binnenbaden, waaronder een wedstrijdbad met een inhoud van 647 m3, en een buitenbad.

Om een zwembad te vullen kunnen er verschillende types pompen gebruikt worden. Hoe verder een pomp van het zwembad af staat, hoe meer tijd het kost om het zwembad te vullen. In onderstaande figuur is voor vier verschillende pompen de hoeveelheid water die een pomp per uur kan vullen (Q) in m3 per uur uitgezet tegen de afstand van de pomp tot het zwembad (A) in meters.

       
 

       
  Het wedstrijdbad van De Wisselslag wordt gevuld met behulp van een pomp van type SB15 op 8 meter afstand. Als de medewerkers op diezelfde afstand een pomp van type SB20 zouden gebruiken, zou er minder tijd nodig zijn om het zwembad te vullen.
       
  Bereken met behulp van de figuur hoeveel tijd er dan minder nodig zou zijn om het zwembad te vullen. Geef je antwoord in een geheel aantal minuten.
       
3. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2005

Als er een nieuwe verkeersweg geopend wordt, dan zullen sommige automobilisten overstappen van hun gebruikelijke route naar deze nieuwe weg. Bij de planning van nieuwe verkeerswegen is het van belang te weten hoeveel procent van de automobilisten gebruik zal gaan maken van zo'n weg. Uit een onderzoek door Amerikaanse verkeersdeskundigen blijkt dat dit percentage (p) afhangt van de tijdwinst in minuten (t) en de afstandsbesparing in mijlen (d) die een nieuwe autoweg oplevert. In onderstaande figuur is voor een aantal waarden van p in grafieken weergegeven welke waarden van d en t hierbij horen. Een negatieve waarde van d of t betekent dat er sprake is van een omweg of tijdverlies.
       
 
       
  In deze figuur is een punt A getekend. In dit punt A geldt: p = 70,  d = 6 en t = -5.
Dit betekent dat 70% van de automobilisten gebruik zal maken van de nieuwe weg dankzij de afstandsbesparing van 6 mijl en ondanks het tijdverlies van 5 minuten.

Bij de planning van een nieuwe weg kan er gekozen worden uit twee verschillende trajecten. Traject I levert een tijdsbesparing van 4 minuten op,  maar wel een omweg van 2 mijl. Bij traject II is er een tijdverlies van 6 minuten maar een afstandsbesparing van 2 mijl.

Onderzoek met behulp van de figuur bij welk traject (I of II) het percentage gebruikers het grootst is.

       
4. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2017-II.

Voor het bepalen van de dosering van sommige medicijnen is de lichaamsoppervlakte van de patiënt van belang. Op de afdeling hematologie van het VU medisch centrum in Amsterdam wordt de lichaamsoppervlakte bij gegeven lengte en gewicht bepaald met behulp van onderstaande figuur.
In deze opgave is S de lichaamsoppervlakte in m2, L de lichaamslengte in cm en M het lichaamsgewicht in kg.
       
 

 

Je kunt bijvoorbeeld in de figuur aflezen dat iemand die 55 kg weegt en 130 cm lang is, volgens dit model een lichaamsoppervlakte van ongeveer 1,35 m2 heeft.

Meneer Franssen weegt 85 kg. Hij is 180 cm lang. Zijn buurman is even lang, maar hij weegt slechts 65 kg.

       
  a. Bepaal met behulp van de figuur hoeveel m2 het verschil volgens dit model zou zijn tussen de lichaamsoppervlakte van meneer Franssen en de lichaamsoppervlakte van zijn buurman.
       
  b. Leg uit hoe je in de grafiekenbundel hierboven kunt aflezen dat de grafiek die hoort bij L = 180 stijgend is én afnemend stijgend.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)