Nieuwe pagina 1


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boomdiagrammen.

We zijn thuis wat lui en hebben geen zin om te koken. Dus bestellen we maar Chinees.
De Chinees in onze wijk is niet zo groot en heeft nog niet zoveel gerechten. Hiernaast staat de kaart. Voor het voorgerecht hebben we 3 keuzes, voor het hoofdgerecht 4, en voor het bijgerecht 2.
Als we van alle drie eentje willen kiezen, hoeveel keuzes hebben we dan?

Laten we beginnen met het voorgerecht. Dan zijn daarvoor 3 mogelijkheden:

1. Pisang Goreng
2. Saté Babi
3. Loempia speciaal

Oké, stel dat we een keuze gemaakt hebben. Dan moeten we daarna het hoofdgerecht kiezen. Dat geeft bij elk mogelijk voorgerecht vier nieuwe mogelijkheden.
Voor het kiezen van de voorgerecht plus hoofdgerecht zijn er dan in totaal 12 mogelijkheden:

1.1. Pisang Goreng + Babi Pangang.
1.2. Pisang Goreng + Tjap Tjoy.
1.3. Pisang Goreng + Miefang met garnalen.
1.4. Pisang Goreng + Foe yong hai met kipfilet.
2.1. Saté Babi + Babi Pangang.
2.2. Saté Babi + Tjap Tjoy.
2.3. Saté Babi + Miefang met garnalen.
2.4. Saté Babi + Foe yong hai met kipfilet.
3.1. Loempia speciaal + Babi Pangang.
3.2. Loempia speciaal + Tjap Tjoy.
3.3. Loempia speciaal + Miefang met garnalen.
3.4. Loempia speciaal + Foe yong hai met kipfilet.

Let erop dat die 12 eigenlijk komt van 3 × 4. Immers bij elk van de drie voorgerechten zijn vier hoofdgerechten te kiezen.
Dat is in de figuur rechtsboven schematisch aangegeven.
Let erop dat elk uiteinde hoort bij een mogelijkheid. Zo is mogelijkheid 7 bijvoorbeeld de combinatie saté babi + miefang.

Voor de keuze van het bijgerecht komt dus bij elk van deze 12 mogelijkheden twee nieuwe keuzes, namelijk gemengde salade of atjar. De nieuwe lijst bestaat daarom uit 12 × 2 = 24 mogelijke keuzes.

1.1.1. Pisang Goreng + Babi Pangang + salade.
1.1.2. Pisang Goreng + Babi Pangang + Atjar.
1.2.1. Pisang Goreng + Tjap Tjoy + salade.
1.2.2. Pisang Goreng + Tjap Tjoy + Atjar.
1.3.1. Pisang Goreng + Miefang met garnalen + salade.
1.3.2. Pisang Goreng + Miefang met garnalen + Atjar.
1.4.1. Pisang Goreng + Foe yong hai + salade.
1.4.2. Pisang Goreng + Foe yong hai + Atjar.
2.1.1. Saté Babi + Babi Pangang + salade.
2.1.2. Saté Babi + Babi Pangang + Atjar.
2.2.1. Saté Babi + Tjap Tjoy + salade.
2.2.2. Saté Babi + Tjap Tjoy + Atjar.
2.3.1. Saté Babi + Miefang met garnalen + salade.
2.3.2. Saté Babi + Miefang met garnalen + Atjar.
2.4.1. Saté Babi + Foe yong hai + salade.
2.4.2. Saté Babi + Foe yong hai + Atjar.
3.1.1. Loempia speciaal + Babi Pangang + salade.
3.1.2. Loempia speciaal + Babi Pangang + Atjar.
3.2.1. Loempia speciaal + Tjap Tjoy + salade.
3.2.2. Loempia speciaal + Tjap Tjoy + Atjar.
3.3.1. Loempia speciaal + Miefang met garnalen + salade.
3.3.2. Loempia speciaal + Miefang met garnalen + Atjar.
3.4.1. Loempia speciaal + Foe yong hai + salade.
3.4.2. Loempia speciaal + Foe yong hai + Atjar.

De uiteindelijke figuur rechts heeft dus 24 uiteinden, waarbij elke uiteinde staat voor een mogelijke keuze. Dat getal 24 is afkomstig van 3 × 4 × 2 omdat er achtereenvolgens 3 en 4 en 2 keuzemogelijkheden waren.
Zo'n schematische figuur heet een BOOMDIAGRAM.

Kortere notatie.

In plaats van al die takken te tekenen kun je er ook gewoon twee tekenen en ernaast schrijven hoeveel het er eigenlijk zijn. Dat scheelt nogal werk.
En als je de takken dan ook nog naar hetzelfde punt laat lopen dan heet het een wegendiagram.

Zo'n wegendiagram heeft het voordeel dat het nog minder werk is om te tekenen. Bij een boomdiagram kun je ook takken die niet helemaal naar het eind doorlopen meetekenen.

Voorbeeldje daarvan:
Bij een tenniswedstrijd wordt het systeem "best of three" gehanteerd. Dat betekent dat de wedstrijd stopt zodra een speler 2 sets heeft gewonnen.
Het aantal wedstrijdverlopen tussen speler A en B staat in het boomdiagram hieronder.
bij elke splitsing zijn er twee opties: "A wint" of "B wint". (Voor de verandering is het diagram verticaal getekend)

Je ziet dat er ontotaal 6 mogelijkheden zijn (6 uiteinden). De twee buitenste takkenstoppen eerder omdat er op dat moment een speler 2 wedstrijden heeft gewonnen, dus is de partij dan al afgelopen. Je ziet zo bijvoorbeeld meteen dat er 4 mogelijkheden zijn voor een wedstrijd van 3 sets en 2 mogelijkheden voor een wedstrijd van 2 sets.

OK, ik geef het toe: deze zou je ook nog wel gewoon uit kunnen schrijven. Maar bij "best of five" (= wie het eerst 3 sets wint) wordt het al een stuk moeilijker om dan geen mogelijkheid te vergeten,

Bij zulke "onregelmatige" boomdiagrammen werkt het natuurlijk niet meer om gewoon de getallen ernaast te schrijven; je moet zo'n boomdiagram wel helemaal tekenen.

VERMENIGVULDIGINGSREGEL.

Dat met elkaar vermenigvuldigen dat noemen we ook wel de "vermenigvuldigingsregel".
Bedenk goed dat elk uiteinde van een tak van een boomdiagram een mogelijkheid weergeeft, en dat bij die mogelijkheid alle keuzes die je bij elke splitsing maakte tegelijk moeten plaatsvinden. Zo'n tak is eigenlijk één grote samengestelde gebeurtenis.

Als meerdere dingen allemaal tegelijk moeten gebeuren,
Dan moet je de aantallen daarvan met elkaar vermenigvuldigen om het totaal aantal mogelijkheden te krijgen.

Maar wacht even, dat kan efficiënter geformuleerd worden.....
Als dingen tegelijk moeten gebeuren, dan betekent dat dat het ene moet gebeuren EN het tweede EN het derde EN...EN....
Bij elk van die ENNEN splitst het boomdiagram in weer meer takken, dus moet je na afloop al die ENNEN met elkaar vermenigvuldigen. Kortom vanaf nu onthouden we dat:

"EN" betekent "×"

OPGAVEN.

Een nummerbord bestaat uit twee letters- twee cijfers - twee letters.
Als alle letters en cijfers en combinaties ervan toegestaan zijn, hoeveel verschillende nummerborden zijn er dan?

(examenvraagstuk, deels)
Als je in Budapest met de metro wilt reizen moet je eerst een kaartje kopen. Zo'n kaartje is voorzien van 9 vakjes met daarin de cijfers 1 tm 9. Zodra je bent ingestapt moet je je kaartje in een ponsapparaat steken (volgens de pijlrichting en met de bedrukte zijde boven). Eén of meer cijfers worden dan in één keer weggeponst. Daardoor is aan het kaartje te zien in welke trein je reis begonnen is.

Hierboven zie je de afbeelding van een kaartje waaruit de nummers 1, 6 en 9 zijn weggeponst.

In een ander kaartje worden 2 gaatjes geponst die niet in dezelfde rij of kolom zitten.
Op hoeveel manieren kan dat?

Een koffiehuis verkoopt maar liefst 8 verschillende soorten koffie. Verder kan ik bij elk kopje dat ik bestel kiezen uit vier formaten (medium, small, large en extra-large). Ik moet ook nog beslissen of ik met of zonder suiker wil, en of ik met of zonder melk wil. Ze hebben trouwens drie soorten melk (room, mager en vol).
Hoeveel verschillende koppen koffie kan ik zo bestellen?

Hoeveel verschillende even getallen van 4 verschillende cijfers kun je maken als je mag kiezen uit de cijfers 1, 3, 4, 5, 6, en 9?

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2008

Alle eieren die je in de winkel koopt, zijn tegenwoordig voorzien van een code. Het ei op de foto heeft als code 2-NL-4017701. Dit is de IKB-code. (IKB betekent integrale ketenbeheersing.) Hiermee is te achterhalen waar het ei vandaan komt. In de volgende tabel zie je hoe de IKB-code is opgebouwd.

Houderij systeem	Land van herkomst	Nummer pluimveebedrijf	Eventueel stalnummer
0 = biologisch 1 = Vrije uitloop 2 = Scharrel 3 = Kooi	NL = Nederland BE = België DE = Duitsland FR = Frankrijk	5 cijfers: 10000 t/m 99999	2 cijfers: 00 t/m 99

Bereken hoeveel verschillende IKB-codes mogelijk zijn.