h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een kansverdeling van twee variabelen.
       
We gaan een vrij simpel experimentje uitvoeren, namelijk 4 keer een muntstuk gooien en kijken of het resultaat KOP of MUNT is  (laten we aannemen dat de munt zuiver is, dus dat de kans op n van beiden elke keer 0,5 is).
Maar deze les kijken we voor de verandering niet naar n uitkomst zoals X = aantal KOP, maar we bekijken twee uitkomsten:  X = aantal KOP  en  Y = aantal wisselingen in de rij.

Apart zou dat de volgende kansverdelingen opleveren:
       
aantal KOP kans
0 0,0625
1 0,2500
2 0,3750
3 0,2500
4 0,0625
aantal wisselingen kans
0 0,125
1 0,375
2 0,375
3 0,125

 
Ga zelf maar na dat dat klopt. Met de vorige lessen zou je dat makkelijk moeten kunnen......

Maar nou komt het!
Als we nou deze twee eens gaan combineren... 

Bijvoorbeeld:  bereken P(3 kop EN 2 wisselingen).
Misschien is het handig daarvoor alle 16 mogelijkheden uit te schrijven:
       
serie aantal kop aantal wisselingen
KKKK
KKKM
KKMK
KKMM
KMKK
KMKM
KMMK
KMMM
MKKK
MKKM
MKMK
MKMM
MMKK
MMKM
MMMK
MMMM
4
3
3
2
3
2
2
1
3
2
2
1
2
1
1
0
0
1
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
2
1
0
       
Je ziet dat de kans op 3 kop EN 2 wisselingen gelijk is aan 2/16  (de rode gevallen hierboven)
Als je alle combinaties zou bekijken krijg je deze totaaltabel:
       
 

aantal wisselingen

0 1 2 3
aantal kop 0 1/16 0 0 0
1 0 2/16 2/16 0
2 0 2/16 2/16 2/16
3 0 2/16 2/16 0
4 1/16 0 0 0
       
Maar ja, als je daar een figuur bij wilt tekenen, dan heb je te maken met drie dingen:  het aantal kop, het aantal wisselingen, en de kans.
Dat kan niet in een 2D-grafiek, daarvoor is een 3D-grafiek nodig. Zoiets:
       

       
Misschien is het duidelijker als je het bovenaanzicht tekent, en de hoogte van de staafjes (de kansen) geeft door het "aantal keer 1/16 " (dus het aantal keer dat je verwacht dat de gebeurtenis voorkomt als je 16 experimenten doet.
       

       
Terug naar "gewone" kansen
       
Natuurlijk kun je vanuit zo'n tweedimensionale kansverdeling ook makkelijk terug naar de "gewone" oorspronkelijke kansen.
Als je in bovenstaand voorbeeld het aantal wisselingen W noemt, en het aantal keer kop K, dan kun je de kansen op W uit de figuur bepalen door gewoon een hele rij op te tellen.
Zo dus:
       

       
En net zo goed kun je alle kansen op de K's uit de figuur bepalen door gewoon de kolommen op te tellen (sommeren ocver alle W).
Zo dus:
       

       
Ach. in feite doe je niet veel anders dan zo'n tabel met kansen aflezen. Zo kun je natuurlijk ook direct de voorwaardelijke kansen bepalen. Hier zie je de kans op K = 3 gegeven dat W = 1: 
       

       
En je kunt er zelfs de kansen op vreemde dingen als "aantal kop + aantal wisselingen" (K + W) uit halen. Hiernaast  zie je de kans op  K + W = 3. Die is 4/16

Met gewone kansrekening zou dat z gaan:
P(K + W = 3) =
= P(0, 3) + P(1, 2) + P(2, 1) + P(3, 0)
= 0/16 + 2/16 + 2/16 + 0/16
= 4/16
 

       
  OPGAVEN
       
1. Stel dat X en Y de gezamenlijke verdeling zoals hiernaast hebben.
Stel verder dat  A = Y(2X + Y)
en B = (X + 2)(Y + 3)
  X
5 10
Y 2 0,10 0,15
4 0,20 0,30
6 0,10 0,15
     
  a. Bereken het gemiddelde van A (EA)
   

82

  b. Controleer of  EA = EY(2EX + EY)
   

nee

  c. Bereken het gemiddelde van B (EB)
     

80

  d. Controleer of   EB = (EX + 2)(EY + 3)
     

ja

       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)