© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Jacobiaan.
       
Deze les gaat erover als we bij een dubbelintegraal met y en x overgaan op nieuwe variabelen u en v
De hoofdvraag daarbij is:

Hoe zit dat dan precies met die dydx?

       
Laten we zeggen dat voor de nieuwe variabelen geldt  u = f(x, y) en  v = g(x, y)  met f en g willekeurige functies.
Het rooster van vierkantjes met zijden dx en dy zal dan overgaan in een nieuw rooster met "gebiedjes" du en dv.
Als we dx en dy maar klein genoeg kiezen, (en als de functie f en g niet al te "raar" zijn) dan zullen die nieuwe gebiedjes er uitzien als parallellogrammetjes.  De eventueel gekromde randen zijn dan bij benadering rechte lijnstukken.
       

       
De oppervlakte van een parallellogram.
   
Laten we een willekeurig parallellogram bekijken dat wordt opgespannen door de twee vectoren  p en q  met kentallen px, py en  qx, qy zoals in de figuur hiernaast.

De oppervlakte van het parallellogram vind je door van de grote rechthoek vier driehoeken en twee rechthoeken af te trekken:

(px + qx)(py + qx) - qxqy - pxpy - 2pxqy 
=
pxpy + pxqy + qxpy + qxqy - qxqy - pxpy - 2pxqy
= qxpy - pxqy

Als p en q een andere kant op staan dan komt daar nog steeds hetzelfde uit, maar het moet wel positief zijn (is immers een oppervlakte. Als je dat niet gelooft dan teken vooral allerlei situaties zelf maar uit.   
Daar komt elke keer weer diezelfde oppervlakte uit.
 
oppervlakte parallellogram  =  qxpy - pxqy
       
dydx omzetten in dudv
       
Stel dat een rechthoek ABCD met lengte en breedte dx en dy waarvan punt A de coördinaten (x, y) heeft door deze verandering van variabelen overgaat in een parallellogram A'B'C'D'
       

       
Dan geldt: 
A' = (f(x, y), g(x, y))
B' = (f(x + dx, y), g(x + dx, y))
D' = (f(x, y + dy), g(x, y + dy))

Maar f(x + dx, y) is gelijk aan  f(x, y) + f/x • dimmers de afgeleide  f/x zegt hoe snel  f verandert als x verandert.
En op dezelfde manier geldt dan:
f
(x, y + dy) = f(x, y) +
f/y • dy  en  g(x, y + dy) = g(x, y) + g/y • dy  en   g(x + dx, y ) = g(x, y) + g/x • dx

In het rechterplaatje zie je twee vectoren A'B' en  A'D' die een parallellogram opspannen.
Voor de oppervlakte van zo'n parallellogram geldt dan (volgends de eerder gevonden regel):
O
(A'B')x • (A'D')y  -  (A'D')x • (A'B')y
O =
  (Ax - Bx) • (Ay - Dy) - (Ax - Dx)(Ay - By)
O =
f/x • dx • g/y • dy   -  f/y • dy •  f/x • dx
O =
(
u/x v/y  u/yv/x ) • dxdy

Je ziet dat een oppervlakte dxdy  bij zo'n transformatie overgaat in een oppervlakte  dudv  waarvoor geldt:
 

 dudv  = (u/x v/y  u/yv/x ) • dxdy

       
Dat deel tussen die haakjes heet ook wel de Jacobiaan.

 
Meest voorkomende toepassing:  poolcoördinaten.

Als je van gewone coördinaten  (x, y)  overstapt op poolcoördinaten  (r, φ) Dan geldt:
x = rsinφ   en   y = rcosφ,  dus  φ = arctan(y/x)  en  r = √(x2 + y2
Omdat de afgeleide van arctan(x) gelijk is aan  1/(1 + x²)  geldt dan (met de kettingregel uiteraard):

Dat betekent  dat  drdφ = 1/r • dxdy   ofwel   dxdy = r • drdφ

wacht... dat kan handiger.....
Je kunt de hele afleiding van die Jacobiaan natuurlijk net zo goed (x, y) en (u, v) met elkaar verwisselen. Als je van een rechthoekje dudv naar een parallellogrammetje dxdy gaat, dan geldt volgens precies dezelfde afleiding:
       

 dxdy  = (x/u y/v  x/vy/u ) • dudv

       
x = rsinφ   en   y = rcosφ  geeft veel makkelijkere afgeleides:
x/r = sinφ  en   x/j = rcosφ  en   y/r = cosφ  en   y/j = - rsinφ
De Jacobiaan is dan   rcosφ • cosφ  - - rsinφ • sinφ  = rcos2φ + rsin2φ = r(cos2φ + sin2φ) = r
Dus  dxdy = r • drdφ      Gelukkig dezelfde conclusie.
 

poolcoördinaten:
dxdy  = rdrdφ

 
Laten we voor de grap meteen maar even in één regel de oppervlakte van een cirkel uitrekenen:

       
Hogere dimensies.

Als je integralen in nog hogere dimensies gaat berekenen (zullen we later met drievoudige integralen gaan doen) dan krijg je elke keer ook te maken met zo'n Jacobiaan.
Voor drie dimensies ziet die er als volgt uit:
       

       
Nou ja, dan kun je vast zelf wel verzinnen hoe dat vierdimensionaal eruit zal zien, en vijfdimensionaal, en zesdimensionaal, ....
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)