© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gemengde opgaven VWO Wiskunde A.
       
 
       
1. Boomgroei.
 

       
 

Naar de groei van bomen is veel onderzoek gedaan. In de bosbouw wordt voor veel bomen de te verwachten hoogte berekend met de formule van Chapman-Richards:

h = a(1 - bt)c

Hierin is h de hoogte van een boom in meters en t de leeftijd in jaren. De waarden van de getallen a, b en c hangen af van de soort boom. De getallen a, b en c zijn positief. In de volgende tabel zijn deze waarden voor enkele boomsoorten weergegeven
       
 

boom

a

b

c

Japanse lariks

23,743

0,9603

1,22770

zomereik

39,143

0,9867

0,96667

Amerikaanse eik

29,026

0,9790

0,80820

berk

18,216

?

0,95040

       
 

Het verband tussen de hoogte en de leeftijd van de zomereik wordt dus gegeven door de formule:

h = 39,143(1 - 0,9867t)0,96667

Voor de afgeleide van deze functie geldt:

 

       
  a.

Toon deze formule aan.

       
  b. Beredeneer met deze formule dat een zomereik steeds groeit en dat deze  groei steeds langzamer gaat.
       
 

Een berk bereikt op de leeftijd van 10 jaar een hoogte van 7,52 meter.

       
  c.

Bereken algebraïsch de waarde van b die hierbij hoort.

       
 

Een tuinier heeft  een verzameling van  5 berken en 8 zomereiken en wil die in een lange rij naast elkaar gaan planten langs zijn oprijlaan.

       
  d. Op hoeveel manieren kan hij de volgorde kiezen als alle bomen verschillend zijn?
       
  e. Op hoeveel manieren kan hij de volgorde kiezen als er tussen twee bomen van dezelfde soort geen verschil te zien is?
       
  f. Beredeneer dat je aan de waarde van a kunt zien hoe groot een boom uiteindelijk zal worden.
     
  Voor de Japanse lariks lijkt de groei de eerste 15 jaar bijna lineair te verlopen. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  g. Stel voor deze lineaire benadering een formule op door gebruik te maken van de hoogte na 5 jaar en de hoogte na 10 jaar.
       
 
       
2.  Bevolkingsgroei.
       
  De bevolking van Afrika is de laatste 70 jaar enorm gegroeid.  In 1960 waren er 283 miljoen Afrikanen. In 2020 waren er  1,3 miljard. Een kolossale groei, bijna een vervijfvoudiging.  Zie de volgende figuur:
       
 

       
 

Als je exponentiële groei veronderstelt, en je kiest t = 0 in 2000, dan kun je met de gegevens van 1960 en 2020  de volgende formule opstellen:

B = 780
× 1,026t   (met t de tijd in jaren en B de bevolking in miljoenen)

       
  a. Toon deze formule aan.
       
  b.

Bereken in hoeveel  jaar het aantal inwoners van Afrika bij deze groei verdubbelt.

       
  c.

Bereken met behulp van de afgeleide B' in welk jaar de bevolking van Afrika toenam met 15 miljoen mensen.

       
 

Voor de hele wereldbevolking  W wordt het volgende model gehanteerd:

       
 

W(n) = 1,3 • W(n - 1) - 0,000023 • W(n - 1)2  met  W(0) = 6100

     
 

Daarin is n het aantal jaar na 2000, en W (n)  de bevolking in miljoenen.
Volgens dit model zal de wereldbevolking naderen naar een bepaalde grenswaarde.

     
  d.

Bereken de grootte van die grenswaarde.

     
 

In dit model is er kennelijk rekening mee gehouden dat de bevolkingsgroei van Afrika niet volgens het bovenstaande model zal blijven groeien, want als dat wel het geval zou zijn, dan zou de bevolking van Afrika op een bepaald moment groter worden dan de hele wereldbevolking, en dat kan natuurlijk niet.

     
  e.

Bereken in welk jaar dat volgens de modellen zou zijn.

     
 

Het is mogelijk om voor de grootte van de wereldbevolking een directe formule op te stellen. Die ziet er zó uit (met t de tijd in jaren vanaf 2000):

     
 

     
  f. Beredeneer aan de hand van deze formule dat de grafiek van W(t) altijd stijgt.
     
  g.

Bereken algebraïsch  wanneer volgens deze formule de wereldbevolking  12 miljard zal zijn.

     
 
     
3.  De hoogte van een boom.
     
  Een boswachter moet regelmatig bomen wegzagen, en daarbij raakt hij geïnteresseerd in het  verband bestaat tussen de doorsnede van de omgezaagde boomstam en de lengte ervan. Metingen aan een groot aantal omgezaagde bomen geven de volgende figuur.
Op de y-as staat log(H) waarbij H de hoogte van de boom in meters is, en op de x-as staat log(A) waarbij A de oppervlakte van de doorsnede in m2 is.
     
 

  a. Eén van de bomen had een hoogte van 5,6 meter en een stamdoorsnede van  0,11 m2 
Geef deze boom aan in bovenstaande figuur.
       
  In de figuur is een rechte lijn getekend die zo goed mogelijk past bij de gemeten punten. De vergelijking van deze lijn is:
 

log(H) = 1,08 + 0,43log(A)

       
  b. Bereken algebraïsch de hoogte van een boom die oppervlakte van de stamdoorsnede van 0,60  m2 heeft.
       
  De boswachter bedenkt dat het ook welk handig is om een formule voor nog niet-omgezaagde bomen op te stellen. Als je uitgaat van een cirkelvormige stamdoorsnede, dan geldt  A = 0,785 D2  waarin D de diameter (in meter) is.
       
  c. Stel een formule op van de vorm  log(H) = p + q • log(D) en teken de lijn die daarbij hoort in bovenstaande figuur, met log(D) op de x-as.
       
  De formule voor log(H) die bij de rechte lijn hoort kun je herschrijven als  H = 12 • 2,7A
       
  d. Toon dat aan en bereken de constanten 12 en 2,7 in twee decimalen nauwkeurig.
       
  e. Als de oppervlakte van de stamdoorsnede van een boom 0,5 m2 toeneemt, dan groeit de lengte met een vast percentage. Toon dat aan, en bereken dat percentage.
   
 
       
4. BLOKKENTORENS
       
  Twee peuters gaat van kubusvormige blokjes een serie torentjes bouwen, maar doet dat niet zoals hiernaast, maar veel regelmatiger.
Ze beginnen met één blokje.
Dan bouwen ze daaronder een vierkant van negen blokjes.
Dan daaronder een vierkant van 25 blokjes, en zo gaan ze maar door.
Hun blokjes zijn allemaal rood, geel of blauw.
Dat levert de volgende serie piramides op:
       

 
 

Noem A(n) het totaal aantal blokjes in piramide nummer n.
De recursieformule voor A(n)  is:   A(n) = A(n
- 1) + (2n - 1)2   met  A(1) = 1

       
  a.

Leg uit hoe deze formule volgt uit bovenstaande tekst en figuren en bepaal A(50).

       
  Een directe formule voor A(n) is:     A(n) = 4/3n3 - 1/3n
       
  b.

Bereken het differentiequotiënt van A(n)  op interval  [10, 12]  en verklaar je antwoord.

       
  Als je een foto recht van voren van de torens maakt, dan zien de torens hierboven er zó uit:
       

       
  c. Hoeveel verschillende foto's van een toren van 2300 blokjes zijn er mogelijk?
       
  d.

Hoeveel verschillende foto's zijn er van een toren mogelijk als het vooraanzicht bestaat uit  32 rode blokjes en 48 gele en 20 blauwen?

       
  Als n niet een geheel getal hoeft te zijn kun je de functie A(n) natuurlijk ook beschouwen als de functie 
f(x) =
4/3x3 - 1/3x
       
  e.

Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f  in het punt  waar x = 5

       
 

Vanuit een punt P  van de grafiek van  f  wordt een lijn naar de oorsprong getrokken.
De helling van die lijn blijkt gelijk te zijn aan  225.

       
  f.

Bereken de coördinaten van punt P

       
  g.

Wat zegt het getal 225 over de blokkentoren die bij P hoort?

       
 
       
5.  EPIDEMIE.
       
  In een gebied breekt een besmettelijke ziekte uit. Voor het aantal besmettingen op dag n blijkt de volgende tabel  te gelden:
       
 

Besmettingen  (B)

820

1290

1619

2274

Dag  (n)

0

4

6

9

       
 

Neem voor het gemak in  deze opgave aan dat het aantal mensen geen geheel getal hoeft te zijn.

       
  a. Toon aan dat hier een exponentieel verband geldt.
       
 

In alle formules van deze opgave is n het aantal dagen met n = 0 op het eerste meetmoment uit deze tabel.

Men werkt in het begin met het model B(n) = 820
× 1,12n     (model I)

Omdat het aantal besmettingen zeer snel groeit besluit men op dag 20 tot een gedeeltelijke lockdown in de hoop de groeifactor (ook wel R-factor)  van 1,12 te verkleinen.

       
  b.

Hoe groot zou de R-factor vanaf dag 20 moeten worden als er op dag 50 hoogstens 30.000 besmettingen mogen zijn? Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

       
 

Men bereikt, omdat veel mensen zich niet goed aan de maatregelen houden,  door de lockdown helaas slechts een R van 1,052.

Vanaf dag  n = 20  geldt dan het model:  B = 2870
× 1,052     (model II)

       
  c. Toon deze formule aan.
       
  Gelukkig wordt er een vaccin gevonden, en vanaf dag n = 60 worden de mensen ingeënt.

Vanaf dat moment geldt:   B(n) =  126700
× 2log(0,023n)     (model III)
       
  d.

Toon aan dat de modellen II en III  bij dag n = 60 vloeiend op elkaar aansluiten.
("Vloeiend" betekent dat ze niet alleen door hetzelfde punt gaan, maar daar ook dezelfde helling hebben).

       
  e.

Beredeneer met behulp van de afgeleide van B dat er bij model III sprake is van afnemende stijging.

       
  f.

Bereken wanneer onder model III het aantal besmettingen gelijk zal zijn aan 100.000

       
  Uiteindelijk krijgt men door toenemende groepimmuniteit, de epidemie onder controle.  Maar ook dan is er toch elk jaar in de winter wel een kleine golf aan uitbraken  Het aantal sterfgevallen door deze ziekte zal door de jaren heen een sinusvormig model volgen zoals in onderstaande grafiek weergegeven. Daarin zijn het minimum en het maximum aangegeven
       
 

       
  g. Stel een model op voor het aantal sterftegevallen als functie van het dagnummer.
       
  Natuurlijk zou het ideaal zijn als ook de sterftegevallen in de loop van de tijd afnemen.  Dat zou zo zijn als de evenwichtslijn niet horizontaal zou zijn, maar dalend. Dat zou, als de rest gelijk blijft,  er dan zó uit kunnen zien  (twee punten op de evenwichtlijn zijn aangegeven):
       
 
       
  h.

Stel voor dit model een formule op en bereken wanneer het aantal sterftegevallen voor het eerst nul zal zijn.

       
 
       
 
       
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)