h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Fractals en rijen.
       
Er is nog een hele andere manier om fractals te produceren, en dat is door te kijken wat er gebeurt met een rij getallen voor verschillende recursievergelijkingen.

Dat is het makkelijkst uit te leggen met een voorbeeld.
Stel dat we een rij getallen hebben, gedefinieerd door de recursievergelijking:

xn + 1xn2 - yn2 + a  met  x0 = 0
yn + 1 = 2xnyn + b    met  y0 = 0

Daarin zijn a en b constante getallen.
Laten we eens  een a en een b bekijken, en kijken wat er gebeurt.
       
a = 1  en b = 0 geeft de volgende serie punten (xn, yn):
(0, 0) → (1, 0) → (2, 0) → (5, 0) → (26, 0) → (677, 0)  →  ....
Oei! Dat loopt nogal uit de hand. De afstand van deze punten tot de oorsprong wordt erg snel groter en groter.
       
a = -1 en b = 0 geeft daarentegen een heel ander beeld:
(0, 0) → (-1, 0) → (0, 0) → (-1, 0) → (0, 0) → (-1, 0) → ....
Kijk; dat blijft netjes heen en weer gaan tussen die twee punten.
       
a = -0,5 en b = 0,5  geeft het volgende;
(0, 0) → (-0.5, 0.5) → (-0.5, 0) → (-0.25,  0.5) → (-0.6875, 0.25) → (-0.08984375, 0.15625) → .....???
lastig te zien. Laten we de GR er maar eens bij pakken:
       
       
Dat lijkt in de buurt van  (-0.409, 0.275) uit te komen.
       
We zouden nu meer en meer waarden van a en b kunnen bekijken en telkens bepalen of de rij die ontstaat wegloopt van de oorsprong of er binnen bepaalde afstand van blijft.

Als de rij "n de buurt" van de oorsprong blijft, dan zetten we een zwarte stip in het punt (a, b).
Al die zwarte stippen samen leveren de figuur hiernaast. Ze heten samen de Mandelbrot-verzameling M.

Hij is genoemd naar de (van oorsprong) Poolse wiskundige Benoit Mandelbrot die in de zeventiger jaren van de vorige eeuw onderzoek deed naar  fractals.

Dat hiernaast is trouwens maar een saaie wiskundige voorstelling. Meestal kom je de Mandelbrot verzameling tegen met prachtige kleurtjes.
Zoiets: 

       

       
Afhankelijk van hoe snel de rij cordinaten van de oorsprong afloopt hebben de punten (a, b) een andere kleur gekregen. zijn. Je zult al wel zien dat de rand van de Mandelbrotverzameling een fractal is:  de figuur herhaalt zichzelf op steeds kleinere schaal.  In het volgende Youtube-filmpje kun je mooi de herhalende patronen zien als je inzoomt op de rand. Let op de schaalgrootte rechtsboven....
       
       
       
Interessant doen met complexe getallen....
       
Als je de y-as als Imaginaire as neemt, en de x-as als Reele as, dan kun je de rij getallen  (a, b) zien als een rij complexe getallen c = a + bi.
De twee recursievergelijkingen worden dan samen n nieuwe vergelijking:    zn + 1 = zn2 + c   met  z0 = 0
Dat ziet er eenvoudiger uit dan die twee eerdere vergelijkingen, alhoewel het eigenlijk niets extra's toevoegt.
       
Julia-verzamelingen.
       
De Mandelbrot verzameling is eigenlijk een speciaal geval van een Julia-verzameling. Die hadden we dus eigenlijk eerst moeten bekijken.
Ook Julia gebruikte de recursievergelihjking (in het complexe vlak):
       

 zn + 1 = zn2 + c  

       
Mandelbrot nam n waarde van c en keek of de rij vanaf  z = 0 voor die c convergeerde (zwarte stip bij c zetten) of divergeerde (geen stip bij c zetten).
Julia nam ook n waarde van c, maar keek daarna bij elk punt z van het complexe vlak of de rij convergeerde of divergeerde. De grenslijn tussen het gebied "convergeren" en het gebied "divergeren" noemde hij de Julia-verzameling van punt c.  Elke c heeft dus zijn eigen Julia-verzameling!

Neem het simpelste geval:   c = 0.  Dus  zn + 1 = zn2
Het zal je niet verbazen dat de punten waarvoor deze rij convergeert het binnengebied van de cirkel met straal 1 en middelpunt de oorsprong is.  Ofwel:  "de Julia-verzameling bij c = 0 is de eenheidscirkel".

Hier zijn een paar andere Julia-fractals, voor verschillende waarden van c.

       

       
Op de volgende site kun je zelf een C invoeren en kijken wat voor mooie Julia-verzameling dat oplevert.  Je kunt daar bijvoorbeeld zien, dat alleen rele getallen altijd Julia-verzamelingen geven die symmetrisch zijn in de Rele as, en dat Complexe waarden zorgen voor draaiingen..........Logisch??
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)