© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De grazende ezel.
     

Een ezels zit vast aan een touw. Daardoor kan hij slechts op een deel van de weide waarop hij zich bevindt grazen.

De ezel bevindt zich op een cirkelvormige weide met straal 1, en zit ergens aan het hek aan de binnenkant vast aan een touw met lengte 0,8.

Hoeveel weiland kan de ezel afgrazen?
Ach, kom, weet je wat? ...... Laten we meteen maar het algemenere geval bekijken: 

Twee cirkels met stralen R en r en middelpunten (0,0) en (d,0) snijden elkaar.  Hoe groot is de gemeenschappelijke oppervlakte?

Eerst gaan we proberen lengte AB te vinden:

De vergelijkingen van de cirkels zijn:

x2 + y2 = R2  en  (x - d)2 + y2 = r2

       
Snijden geeft:  (x- d)2 + (R2 - x2) = r2  ⇒  x2 - 2dx + d2 - x2 = r2 - R2
x oplossen en weer invullen in  y2 = R2 - x2  geeft:
Lengte AB is gelijk aan 2y:

 
Om de oppervlakte van de doorsnede te berekenen gebruiken we de figuur hiernaast.
Het gele deel is te beschouwen als een cirkelsegment met hoek 2α waar een driehoek vanaf moet worden getrokken.

Cirkelsegment: cosα = d/R  dus  α = cos-1(d/R)
Omdat de hele cirkel hoek 2π en oppervlakte πR2 heeft geldt:
2α/2π = cirkelsegment /πR2  ofwel  cirkelsegment = αR2
Conclusie:  cirkelsegment = R2•cos-1(d/R)

Driehoek:  b2 = R2 - d2  ⇒  b = √(R2 - d2)
Oppervlakte = 0,5 • 2 • b • d = d • √(R2 - d2)

 

   
Terug naar onze ezel graag!

Daarvoor is de situatie als hiernaast, waarbij de rode cirkel straal 1 heeft en de blauwe straal 0,8.
 

We lichten de driehoek  MQm in het midden uit de figuur.  
sin α = 0,4/1 = 0,4
sin2α + cos2α = 1 geeft dan   cos2α = 1 - 0,42 = 0,84
Dan is  cos2α = 2cos2α - 1 = 2 • 0,84 - 1 = 0,68

Dan geldt  MP = MQ • cos2α = 1 • 0,68 = 0,68
En dus is  Pm = 1 - 0,68 = 0,32

Dat geeft twee cirkelsegmenten:

   

   
R2•cos-1(d/R) = 1 • cos-1 (0,68/1) = 0,8230
R2•cos-1(d/R) = 0,8 • cos-1 (0,32/0,8) = 0,9274

Het gebied dat de ezel kan afgrazen is  0,8230 + 0,9274 = 1,7504
Omdat het hele weiland oppervlakte π heeft is dat dus  1,7504/π • 100% = 55,7% van het weiland.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)