een grazende ezel

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De grazende ezel.

Een ezels zit vast aan een touw. Daardoor kan hij slechts op een deel van de weide waarop hij zich bevindt grazen.

De ezel bevindt zich op een cirkelvormige weide met straal 1, en zit ergens aan het hek aan de binnenkant vast aan een touw met lengte 0,8.

Hoeveel weiland kan de ezel afgrazen?

Ach, kom, weet je wat? ...... Laten we meteen maar het algemenere geval bekijken:

Twee cirkels met stralen R en r en middelpunten (0,0) en (d,0) snijden elkaar. Hoe groot is de gemeenschappelijke oppervlakte?

Eerst gaan we proberen lengte AB te vinden:

De vergelijkingen van de cirkels zijn:

x² + y² = R² en (x - d)² + y² = r²

Snijden geeft: (x- d)² + (R² - x²) = r² ⇒ x² - 2dx + d² - x² = r² - R²x oplossen en weer invullen in y² = R² - x² geeft:

Lengte AB is gelijk aan 2y:

Om de oppervlakte van de doorsnede te berekenen gebruiken we de figuur hiernaast. Het gele deel is te beschouwen als een cirkelsegment met hoek 2α waar een driehoek vanaf moet worden getrokken. Cirkelsegment: cosα = ^d/_R dus α = cos^-1(^d/_R) Omdat de hele cirkel hoek 2π en oppervlakte πR² heeft geldt: ^2α/_2π= ^{cirkelsegment} /_πR² ofwel cirkelsegment = αR²Conclusie: cirkelsegment = R²•cos^-1(^d/_R) Driehoek: b² = R² - d² ⇒ b = √(R² - d²) Oppervlakte = 0,5 • 2 • b • d = d • √(R² - d²)

Terug naar onze ezel graag! Daarvoor is de situatie als hiernaast, waarbij de rode cirkel straal 1 heeft en de blauwe straal 0,8.
We lichten de driehoek MQm in het midden uit de figuur.
sin α = ^0,4/₁ = 0,4 sin²α + cos²α = 1 geeft dan cos²α = 1 - 0,4² = 0,84 Dan is cos2α = 2cos²α - 1 = 2 • 0,84 - 1 = 0,68 Dan geldt MP = MQ • cos2α = 1 • 0,68 = 0,68 En dus is Pm = 1 - 0,68 = 0,32 Dat geeft twee cirkelsegmenten:



R²•cos^-1(^d/_R) = 1 • cos^-1 (0,68/1) = 0,8230 R²•cos^-1(^d/_R) = 0,8 • cos^-1 (0,32/0,8) = 0,9274 Het gebied dat de ezel kan afgrazen is 0,8230 + 0,9274 = 1,7504 Omdat het hele weiland oppervlakte π heeft is dat dus ^1,7504/_π • 100% = 55,7% van het weiland.