h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Dubbelintegralen.
       
Een gewone integraal die hebben we ooit leren kennen als de oppervlakte onder een grafiek  f(x) , en die berekenden we door allemaal rechthoekjes van breedte dx en hoogte  f(x) te maken en de oppervlakten daarvan op te tellen (een Riemann-som, weet je nog?)

Deze les gaan we de ruimte in!
We bekijken het driedimensionale geval van een integraal.
Er is nu een tweedimensionale functie  f(x, y) een daarvan willen we de inhoud boven een gebied in het xy-vlak berekenen. Zie de figuur rechtsonder.  (de rand naar achteren is ongeveer recht getekend voor de eenvoud, maar kan natuurlijk elke vorm hebben)
       

       
De tweedimensionale oppervlakte berekenden we door het vlakdeel in rechthoekjes te verdelen, dus op dezelfde manier gaan we nu de driedimensionale inhoud in staafjes verdelen:
       

       
In de figuur rechts moeten we dus van elk staafje de inhoud uitrekenen en dan al die inhouden optellen. Als de staafjes maar dun genoeg zijn (dx en dy zo klein mogelijk) dan zijn het bij benadering balken, en dan is de inhoud  dx dy f(x, y)
Voor de totale inhoud moeten we nu weer sommeren, maar ja, wel sommeren over alle dx n over alle dy
Dat zou z kunnen:
       

       
De inhoud van n zo'n deel (met dikte dy) kun je nu uitrekenen door alle dx daarvan te sommeren.
Voor de inhoud van dit ene deel geldt dan:

   

   
En als je dx maar klein genoeg neemt dan wordt dat een integraal:
   

       
Merk nog even op dat die integraal de oppervlakte van de voorkant is (en ook de achterkant als dy maar klein genoeg is).
Als je dit ene deel hebt uitgerekend moet je daarna natuurlijk nog al die dy-delen bij elkaar optellen. Dat wordt (als je nu dy maar klein genoeg kiest) wr een som:

       
Maar ja, je zou natuurlijk ook net zo goed de inhoud van die hele figuur eerst in allemaal stukken met breedte dx kunnen verdelen:
       

       
En dan moet je n zo'n deel (met vaste x) weer uitrekenen met een som over alle dy. Dat wordt dan de oppervlakte van de zijkant. Dat geeft: 
       

       
Die beide manieren geven dezelfde oplossing (namelijk de totale inhoud). Daarom schrijven we dat voortaan als n integraal; een zogenaamde dubbelintegraal:
       

       
Bedenk goed dat je zelf mag kiezen in welke volgorde je de integralen uitrekent! 
OF je neemt eerst x als constante en berekent de integraal van dy, en daarna integreer je dat resultaat nog eens over dx
OF je neemt eerst y als constante en berekent de integraal van dx, en daarna integreer je dat resultaat nog eens over dy
       
Voorbeeld.  
Bereken de dubbelintegraal  van de functie  f(x, y) = x2y   over het gebied  0 ≤ x ≤ 4  en  2 ≤ y ≤ 6.
Doe dat op twee verschillende manieren.
       
Oplossing.

eerst integreren over x:

       
eerst integreren over y:

       
Gelukkig maar.... dat is hetzelfde!
       
Een Riemann- Middensom
       
Op precies dezelfde manier waarop we de oppervlakte onder een grafiek konden benaderen met een Riemann-Middensom kunnen we nu de inhoud onder een vlakdeel benaderen met zo'n Riemann-Middensom.
Ter illustratie maar weer een enkele en een dubbele integraal naast elkaar, zodat je goed de overeenkomsten kunt zien.
  Links willen we de oppervlakte onder de grafiek van f(x) = x2  van x = 0 tot x = 4 berekenen
  Rechts willen we de inhoud onder het vlakdeel van de functie  g(x, y) = x2y voor x en y tussen 0 en 2 berekenen. 
       

       
Links berekenen we de functiewaarde in de vier blauwe stippen
f(0,5) = 0,25  en  f(1,5) = 2,25 en  f(2,5) = 6,25 en f(3,5) = 12,25
Voor de oppervlaktes van die rechthoekjes vermenigvuldig je met Δx = 1, en dan tel de die rechthoekjes op
Dat geeft als benadering  oppervlakte  0,25 1 + 2,25 1 + 6,25 1 + 12,25 1 = 21 cm2
       
  Rechts bereken je de hoogte van die vier blauwe stippen
(er zweeft daar nog een rood vlak boven dat precies door die vier stippen gaat, maar dat tekent wat lastig)
g(0.5, 0.5) = 0,125  en  g(1.5, 0.5) = 1,125  en  g(0.5, 1.5) = 0,375  en  g(1.5, 1.5) = 3,375
Voor de inhoud van die balkjes vermenigvuldig je die hoogtes met ΔxΔx = 1 1 = 1 en dan tel je die inhouden op.
Dat geeft als benadering voor de inhoud  0,125 12 + 1,125 12 + 0,375 12 + 3,375 12 =  5 cm3
       
Het blijft natuurlijk wl een inhoud h?
       
Soms helpt het best veel om je te blijven bedenken dat het wel om een inhoud gaat. Neem de volgende zeer lastige dubbelintegraal:

Het integratiegebied is dus het vierkant  voor x en y tussen -1 en 1.
Tja, naar x integreren is nogal lastig.  Wat is de primitieve van  f(x) =  (1 - x2)??
Ok, dat blijkt gelijk te zijn aan   F(x)  = 1/2 (x(1 - x2) + arcsinx)
Controleer maar door te differentiren!!!  Tja, je moet er maar opkomen......  
 
   
Maar het wordt allemaal een stuk makkelijker als je je realiseert dat de functie  z = (1 - x2)  een stuk van een cilindermantel is!
Zie de figuur hiernaast.
Met die integraal wordt dus eigenlijk gevraagd de inhoud onder die cilindermantel. Dat is een halve cilinder met r = 1 en h = 2.
Dat is een halve cilinder en die heeft inhoud  1/2 π 12 2 = 2π

Voil!!!!
       
Een paar eigenschappen samengevat.
-  die we trouwens stiekem eigenlijk al gebruikt hebben-

Hier staan nog even op een rijtje een paar eigenschappen van dubbelintegralen die volgen uit de definities en figuren hierboven. Ik hoop dat je ze logisch vindt......
       

       
1. Bereken de volgende integralen op twee manieren.
       
  a. De integraal van  f(x, y) = 2x + y   over het gebied   1 ≤ x ≤ 3  en  2 ≤ y ≤ 6
     

64

  b De integraal van  f(x, y) = yx  over het gebied   0  ≤ x ≤ 4  en   2 ≤  y ≤ 4
     

32

  c. De integraal van  f(x) = x2 + y  over het gebied   0 ≤ x ≤ 6  en   0 ≤ y ≤ 2
     

156

2. Bereken de volgende integralen op de manier die je maar wilt.
(De integratiegebieden zijn steeds aangegeven als  [x1, x2] [y1, y2] )
       
  a.

     

1392

  b.

     

96

3. Neem bij de volgende twee integralen even de tijd om te beslissen naar welke variabele je eerst integreert:
       
  a.

     

0,5ln1,25

  b.

     

e4 - e2 - 2

       
Soms kun je 't nog wat versimpelen    (maar niet vaak....)
       
Die integrand is steeds een functie f (x, y)  van x en van y.  Heel soms komt het voor dat je die functie f  kunt schrijven als twee factoren waarvan de ene alleen van x afhangt en de andere alleen van y.
Z dus:  

 f(x, y)  = g(x) h(y)

       
Als dat kan, dan kun je die dubbelintegraal ook meteen weer veranderen in twee enkele integralen:
       

       
Ik hoop dat je dat logisch vindt. Als je bijvoorbeeld eerst naar y besluit te integreren, dan is dat stuk g(x) een constante die je ook wel helemaal voor de y-integraal mag zetten. En bij het daarna naar x integreren is dat y stuk weer gewoon een constante.
       
4. Van de integralen uit de opgaven 1 tm 3 kun je er twee op deze simpelere manier berekenen.
Doe dat....
       
     
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)