h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De dimensie van een vectorruimte.

Tussenstand in onze vectorruimten V:
Een basis is een volledig en onafhankelijk stelsel. waarmee je elke vector uit V op precies n manier kunt opbouwen (door een lineaire combinatie te maken).
Zodra je een vector eruit weglaat is het stelsel niet volledig meer, en zodra je er een vector aan toevoegt is het stelsel niet onafhankelijk meer.

Zo'n basis is niet uniek voor een vectorruimte.

Maar al die basissen blijken een prettige eigenschap gemeen te hebben.........
Tijd voor een belangrijke stelling:

Hoofdstelling van de Lineaire Algebra.
         

Iedere basis van een vectorruimte heeft evenveel elementen.

         
bewijs.
Stel dat we twee basissen hebben met een ongelijk aantal vectoren:  {v1, v2, ..., vm}  en  {w1, w2, ..., wn}  en (n > m).
Het stelsel {v1, v2, ..., vn} is een basis, dus iedere vector wi  is te schrijven als lineaire combinatie van v's.
Dat geeft de vergelijkingen:
         
w1 = a11v1 + a21v2 + ... + am1vm
w
2 = a12v1 + a22v2 + ... + am2vm
...
wn
= a1nv1 + a2nv2 + ... + amnvm 
         
Daarin zijn die w' s en v' s vectoren, en die a 's  constanten.
We willen nu graag aantonen dat het stelsel w afhankelijk is. Dat kunnen we doen door aan te tonen dat er c's te vinden zijn zodat  c1w1 + c2w2 + ... + cnwn  nul is  terwijl niet al die c's ook nul zijn. Dat was stelling 1 uit de vorige les, weet je nog?

Dat betekent dus met het stelsel hierboven, dat:  
c
1(a11v1 + a21v2 + ... + am1vm) + c2(a12v1 + a22v2 + ... + am2vm) + ... + cn(a1nv1 + a2nv2 + ... + amnvm) = 0
herschrijven en ordenen naar v's:
(c1a11 + c2a12 + ... + cna1n)v1 + (c1a21 + c2a22 + ... + cna2n)v2 +  ...  + (c1am1 + c2am2 + ... + cnamn)vm = 0

Dat betekent dat we klaar zijn als we kunnen aantonen dat er c' s bestaan (niet allemaal nul) waarvoor geldt:
         
c1a11 + c2a12 + ... + cna1n  = 0
c1a21 + c2a22 + ... + cna2n  = 0
....
c
1am1 + c2am2 + ... + cnamn = 0
    ofwel 

 
         
Immers als dit stelsel geldt, dan zijn alle cofficinten van de v's nul.
Omdat n > m  staan hier minder vergelijkingen dan onbekenden. De matrix met de a's heeft meer kolommen dan rijen.

Tja....Hoe volgt daaruit dat er een oplossing is met niet alle c's gelijk aan nul?

Daarvoor gaan we matrix  A splitsen in een vierkante matrix rechts en een overblijvend deel links. Die vierkant matrix noem ik R (dat is dus een  m m matrix. Voor m = 3 en n = 7 ziet dat er bijvoorbeeld z uit:
         

         
Die rode sterretjes zijn de vierkant matrix R  (deel van A). Die kruisjes zijn de elementen  c1, c2, ...
Nu bekijken we twee gevallen:

Geval 1:  R is  niet inverteerbaar.
Bekijk dan de volgende matrixvermenigvuldiging:
         

         
Als je matrix R met de bovenste m elementen van c vermenigvuldigt, dan heb je een afhankelijk stelsel (immers R is niet inverteerbaar). Dat heeft dus nul of oneindig veel oplossingen. Maar omdat we n oplossing al kennen (namelijk alles 0) zijn er oneindig veel oplossingen. Er is dus zeker een oplossing te vinden waarbij niet al die bovenste elementen van c nul zijn.
Dus als je de rest van c  (lager dan cm) aanvult met nullen zoals hierboven is gebeurd, dan heb je niet-nul oplossing van Ac = 0 gevonden.

Geval 2:  R is wel inverteerbaar.
Dan kun je R schoonvegen totdat er een eenheidsmatrix is gekomen, dat verandert de oplossing voor c niet.
Bekijk dan de volgende matrixvermenigvuldiging:
         

         
Na schoonvegen van R zijn alle sterretjes in andere getallen veranderd. Noem de elementen van de eerste kolom naast de eenheidsmatrix  a, b, en c.
Dan voldoet de vector c hierboven aan Ac = 0 kijk maar wat er gebeurt als je de vermenigvuldiging Ac gaat uitvoeren:

eerste element:    1 a + 0 b + 0 ca -1 + 0   * ......  = 0
tweede element:  0 a + 1 b + 0 c +  b -1 + 0   * .....  = 0
derde element:    0 a + 0 b + 1 c +  c -1 +  0   *......  = 0

Kortom:  we hebben weer een c (niet-nul) gevonden die voldoet!

Conclusie:  stelsel w is afhankelijk en dus geen basis. Dus er bestaan nooit twee basissen met een verschillend aantal vectoren.

q.e.d.

Dimensie.

Omdat het aantal vectoren van een basis van een vectorruimte V altijd gelijk is, is dat een vaste eigenschap van de vectorruimte. Dat aantal noemen we de dimensie van V  (afgekort als dim(V))
Als je een deelverzameling D van V neemt, dan heet de dimensie van het opspansel van die deelverzameling ook wel de rang van D (overdreven netjes genoteerd als   dim(Span(D)) = rang(D) )

twee slakken om zout op te leggen:
Om heel nauwkeurig te zijn: dit hele verhaal, eigenlijk deze hele les, geldt alleen als  V ≠ {0}. Ofwel:  het moet niet de lege vectorruimte zijn.
         
Dit hele verhaal gaat er verder van uit DAT er wel een basis bestaat.  Het bewijs daarvan zou hier te ver gaan. (Om heel eerlijk te zijn:  dit is maar een smoes; ik ken het bewijs niet, maar het klinkt beter als ik heel geleerd zeg dat het hier "te ver zou gaan").
         
Laten we afsluiten met een aantal kleine stellinkjes over de dimensies van vectorruimtes.

Stellinkje 1.
 

Als {v1, v2, ..., vn} een volledig stelsel in vectorruimte V is,
dan is iedere verzameling van minstens n + 1 vectoren uit V afhankelijk.

bewijs.
Gaat precies zo als bij de hoofdstelling hierboven met de basissen v en w.  Nu is niet bekend of de v's  wel onafhankelijk zijn, maar dat was in dat bewijs ook nergens nodig. Volledigheid was genoeg.

Stellinkje 2.

Als vectorruimte V dimensie n heeft,
dan geldt voor elke deelruimte D van V  dat  dim(D) ≤ n

bewijs.
Kies het grootst mogelijke onafhankelijke stelsel in deelruimte D.  Stel dat dat bestaat uit  {d1, d2, ..., dm}
Dan is in ieder geval dus  m n, immers elke d zit in V dus is met n vectoren op te bouwen, en we zagen in stellinkje 1 hierboven dat er dan niet een grotere onafhankelijke verzameling in V kan zitten.

Maar ja, misschien is er wel een vector dm + 1  in D te vinden die niet op te bouwen is met {d1, d2, ..., dm}. Het stelsel was onafhankelijk, maar misschien wel niet volledig.....
Gelukkig is dat niet zo, kijk maar:
Stel dat er nog een vector  dm + 1  in D te vinden is die niet op te bouwen is uit {d1, d2, ..., dm}
Dan is  {d1, d2, ..., dm,  dm+ 1}  een onafhankelijk stelsel in D, dat kun  je z zien:

  Als het stelsel afhankelijk is, dan zijn er getallen c te vinden zodat  c1d1 + c2d2 + ... + cmdm + cm + 1dm + 1 = 0 waarbij niet alle c's nul zijn (stelling 1 uit deze les).
Als cm + 1 = 0  dan geldt   c1d1 + c2d2 + ... + cmdm = 0  en dat kan niet, want het stelsel zonder dm + 1 was onafhankelijk.
Dus cm + 1 ≠ 0 en we kunnen alles door -cm + 1 delen en dan  dm + 1 naar de andere kant brengen::
 

  Dus zou dm + 1 wl op te bouwen zijn uit de anderen, terwijl we hem juist zo hadden gekozen dat dat niet het geval is.
Kortom {d1, d2, ..., dm,  dm+ 1} is onafhankelijk.
Maar dat is in tegenspraak met het feit dat ons gekozen stelsel het grootst mogelijke was. We hebben hier een groter onafhankelijk stelsel gevonden. Dat kan niet!
De dimensie van het grootste onafhankelijke stelsel in D is dus hoogstens n, en het stelsel is ook volledig.

Stellinkje 3.

Als V dimensie n heeft, en een deelruimte D van V heeft k dimensie n 
dan is  D = V.

bewijs.
Laten we een onafhankelijk stelsel met n vectoren {d1, d2 , ...,  dn} bekijken. Stel nu dat er nog een vector dn + 1 in V bestaat die niet opgebouwd kan worden uit de d's. Dan is {d1, d2 , ...,  dn , dn + 1}  een onafhankelijke verzameling van n + 1 vectoren in V, en die is volgens stellinkje 1 dus afhankelijk. Dat kan dus niet.
Dus er is geen vector in V te vinden die niet met d's kan worden opgebouwd.  Dus D = V.

Stellinkje 4.

Als de dimensie van vectorruimte V gelijk is aan n
dan is ieder volledig stelsel van precies n vectoren uit V een basis van V.

bewijs.
We hoeven dus alleen maar aan te tonen dat het stelsel onafhankelijk is.

Stel dat een willekeurige v  (neem  vn) is op te bouwen uit de andere v's.  Bijv.  vn = a1v1 + a2v2 + ... + an - 1vn - 1
Dan geldt voor een willekeurige v uit de vectorruimte:
v = c1v1 + c2v2 + ... + cn-1vn-1 + cnvn
v = c1v1 + c2v2 + ... + cn-1vn-1 + cn ( a1v1 + a2v2 + ... + an - 1vn - 1)
v = (c1 + cna1)v1 + (c2 + cna2)v2 + ... + (cn - 1an - 1)vn - 1
Maar dan is elke vector uit V op te bouwen met {v1, v2, ..., vn - 1} dus is de dimensie niet n maar n - 1.
Dat klopt niet, dus een willekeurige v is niet op te bouwen uit de anderen, dus het stelsel is onafhankelijk.

Stellinkje 5.

Als de dimensie van vectorruimte V gelijk is aan n
dan is ieder onafhankelijk stelsel van precies n vectoren uit V een basis van V.

bewijs.
Stel dat er een stelsel {d1, d2, ..., dn} bestaat, dat onafhankelijk is maar niet volledig. Dan is er dus een vector dn + 1 te vinden die niet op te bouwen is uit D.  Dan is  {d1, d2, ..., dn, dn + 1}. Maar dan hebben we een onafhankelijk stelsel van meer dan n vectoren,  en dat kan niet volgens stellinkje 1.

Uit de vorige twee stellinkjes volgt dat je voor stelsels van precies n vectoren maar n van beide eigenschappen  (volledig of onafhankelijk) hoeft te controleren om te kijken of het een basis is.

Voorbeeld.

  

Dat is niet nul, dus het stelsel is onafhankelijk, en dus een basis  (omdat het 3 vectoren heeft hoef je volledigheid niet meer na te gaan).
         

Stellinkje 6

Uit een volledig stelsel kun  je altijd een basis maken
door (eventueel) een aantal vectoren weg te laten.

bewijs.
Volgt direct uit stellinkje 4.  Loop vanaf het begin alle vectoren langs, en zodra een vector nog afhankelijk is van de vorigen laat je die gewoon weg. Net zolang tot ze allemaal onafhankelijk zijn.

Stellinkje 7.

Een basis van een deelruimte D van vectorruimte V
kun je altijd uitbreiden tot een basis van V.

bewijs.
Voeg aan de basis (d1, d2, ...} van D een basis {b1, b2, ..., bn}  van V toe.
Dan krijg je de verzameling  {d1, d2, ... , b1,  b2, ... bn}
Dan ga je net als bij de vorige stelling vanaf het begin alle vectoren langs, en zodra je er eentje op te bouwen is uit de vorigen laat je hem weg.  Maar dat zal zeker niet bij n van de d's gebeuren want die waren allemaal onafhankelijk. Dus je laat hooguit  b's weg. Dat levert een basis van V op met alleen maar toegevoegde b's.

         
         
  OPGAVEN.
         
1. Als dim(V) = n  en  Span(D) = V  dan bevat D tenminste n vectoren.
Toon dat aan.
       
       
         

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)