h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Deelbaarheid.
       
Als je wilt bepalen of een bepaald getal n deelbaar is door andere getallen, dan kun je daar af en toe modulo-rekenen bij gebruiken. Dat maakt het soms mogelijk om de deelbaarheid van een getal af te leiden uit de deelbaarheid van enkele cijfers van dat getal.

Splits  n eerst uit in zijn afzonderlijke cijfers:   nnk 10k + nk-1 10k - 1 + ... + n1 10 + n0 
Daarbij zijn die ni de cijfers van n en die komen allemaal uit de verzameling  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
       
Deelbaar door een macht van 2.
       
Stel  dat je wilt weten of een getal n deelbaar is door een bepaalde macht van 2.
Omdat  10 ☰ 0 (mod 2) zijn al die termen in de blauwe vergelijking op n0 na gelijk aan  0 (mod 2) dus is nn0 (mod 2)
Dus het getal n is alleen deelbaar door 2 als het laatste cijfer ervan deelbaar is door 2.

Omdat 2 een deler is van 10, is 2k een deler van 10k , dus is  10k ☰ 0  (mod 2k)
Dus als je neemt  k = 2 (dus deelbaarheid door 4 bekijkt) dan zijn alle termen in die blauwe vergelijking op de laatste twee na gelijk aan 0 (mod 4) want daar zit allemaal een factor 102 in.
Conclusie:  n ☰  10n1 + n0   (mod 4)   dus een getal is deelbaar door 4 als het getal dat door de laatste twee cijfers wordt gevormd deelbaar is door 4.
       
Deelbaar door 3  (en 9).
       
Omdat geldt  10 ☰ 1 (mod 3)  geldt ook  10k ☰ 1 (mod 3)
Dat betekent dat van de blauwe vergelijking precies de ni allemaal overblijven:
n (mod 3) = nk + nk - 1 + ... + n1 + n0  
Conclusie:  een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3.

En omdat  10 ☰ 1 (mod 9)  geldt hetzelfde voor deelbaarheid door 9.
       
Deelbaar door 11.
       
Omdat geldt  10 ☰ -1 (mod 11)  geldt dat  10k = +1 of -1  (+1 als k even is, -1 als k oneven is)
Dat betekent dat van de blauwe vergelijking precies de ni allemaal overblijven, om en om positief en negatief:
n (mod 11) = -n0 + n1 -  n2  + ....
Dus n is deelbaar door 11 als  (n0 - n1n2  - ....)  deelbaar is door 11.

Voorbeeld:   Is het getal  215082214  deelbaar door 11?
4 - 1 + 2 - 2 + 8 - 0 + 5 - 1 + 2 = 17  en dat is niet deelbaar door 11, dus 215082214 ook niet.
       
       
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)