h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een bewijs van de formules van Simpson
Hiernaast is een halve cirkel met straal 1 en middelpunt O getekend. Twee willekeurige punten A en B zijn op deze cirkel gekozen met bijbehorende hoeken α en β zoals hiernaast.
A' en B' zijn hun projecties op de x-as.
Dan zijn de afmetingen cosα, cosβ, sinα, sinβ ook als hiernaast.

 


Teken nu het midden M van AB met projectie M'.
Omdat M halverwege AB ligt is de lengte van MM' het gemiddelde van AA' en  BB':    MM' = 1/2(AA' + BB')
AA' = sinα en BB' = sinβ
dus:     MM' = 1/2(sinα + sinβ)    ....(1)

Omdat driehoek OAB gelijkbenig is met tophoek O, deelt de lijn OM de hoek AOB doormidden.
Daaruit volgt  δ = 1/2(α - β)
Dan is γ = β + δ = β + 1/2(α - β   γ = 1/2(α + β)

sinγ = sin1/2(α + β) = MM'/OM   ⇒    MM' = OM sin1/2(α + β)    ......(2)
In driehoek AOM geldt dat cosδ = cos 1/2(α - β) = OM/1 = OM
Vul dit laatste in in vergelijking  (2) en je krijgt  MM' = cos1/2(α - β) sin1/2(α + β

Samen met vergelijking (1) geeft dat   1/2(sinα + sinβ) = cos1/2(α - β) sin1/2(α + β)
Vermenigvuldig met 2 en je hebt de eerste formule van Simpson afgeleid!
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)