De punten op de middelloodlijn van PQ hebben gelijke afstand tot P en Q.
Neem een willekeurig punt S op die middelloodlijn. Dan geldt: •  PM = QM  (M was immers het midden van PQ) •  SM is een zijde van driehoek PSM, en ook van driehoek QSM •  ∠PMS = ∠QMS = 90º Maar daaruit volgt dat de driehoeken PSM en QSM congruent zijn (zijde-hoek-zijde)
Dus zijn alle zijden en hoeken gelijk, dus geldt ook  PS = QS. q.e.d. Andersom geldt het ook. Neem een willekeurig punt S waarvoor geldt  PS = QS. Teken de lijn SM. Dan geldt: •   ∠SPM = ∠SQM  immers driehoek PSM is gelijkbenig. •   PS =  QS  (gegeven) •   PM = QM  (M was immers het midden) Daaruit volgt dat de driehoeken  PSM en QSM congruent zijn (zijde-hoek-zijde) Dus is ∠PMS = ∠QMS Maar samen zijn die hoeken 180º dus is elke hoek 90º Conclusie:  S ligt op de middelloodlijn.  Dus de middelloodlijn, dat zijn ook de enige punten uit het vlak waarvoor ge;dt dat de afstand tot P gelijk is aan de afstand tot Q.