© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Betrouwbaarheidsintervallen
       
We gaan in deze les  bekijken in hoeverre resultaten van een steekproef iets zeggen over de populatie.
Laat één ding vooraf volkomen duidelijk zijn, misschien wel HET principe van deze les:
       

We kunnen nooit met volledige zekerheid iets beweren!

       
Stel dat je in een (verantwoord) onderzoek hebt gevonden dat het gemiddelde gewicht van zesjarige kinderen in een steekproef die je hebt gehouden gelijk is aan  23 kg (met een standaarddeviatie van 6 kg). Dan lijkt het een redelijke veronderstelling om te zeggen dat van alle kinderen in Nederland het gemiddelde gewicht gelijk zal zijn aan ongeveer 23 kg. Hoe groter je steekproef, hoe betrouwbaarder dat getal zal zijn.

Maar je weet het nooit helemaal zeker!

Overschrijdingskans.

Je vermoedt dat het gemiddelde gewicht voor heel Nederland ongeveer gelijk zal zijn aan G ≈ 23 met een standaardafwijking van 6 kg.  Maar als dat niet zo is, en G is bijvoorbeeld 23,5 kg met een standaarddeviatie van 6 kg, dan ziet de gewichtsverdeling er in werkelijkheid zóiets uit:
       

       
Ook dan zou jouw steekproef dus best een waarde van 23 kunnen opleveren. Of zelfs nog lager. Dat is natuurlijk wel een afwijking van de 23,5 maar niet een al te grote. Geef toe:  Het zou zelfs heel toevallig zijn als jouw steekproef PRECIES 23,5 zou opleveren! Kortom:  een afwijking zal vaak voorkomen, maar een al te grote afwijking niet.

Betrouwbaarheidsinterval.

Bij het maken van een schatting voor een gemiddelde in een populatie gaan we voortaan gebruik maken van het begrip "betrouwbaarheid".  Stel dat we kiezen voor een betrouwbaarheid van 95%.  Dan noemen we de metingen die in een gebied van 95% rond het midden liggen "betrouwbaar". De buitenste 5% van de klokvorm noemen we "onwaarschijnlijk".

De metingen in het groene gebied hieronder zijn dus "betrouwbaar" en de metingen in het rode gebied zijn "onwaarschijnlijk".
       

       
Terug naar ons probleem.

Wat was het probleem ook al weer? Nou, stel dat we in een steekproef een gemiddelde van 23 hebben gemeten, wat kunnen we dan over het gemiddelde van de hele populatie zeggen?
Ofwel:  ergens in deze mist ligt een klokvorm verscholen, en wij hebben als enige gegeven een gemeten gemiddelde van 23 (de rode stip).
       
       
Waar oh waar ligt het gemiddelde van de werkelijke klokvorm........?????
Laten we ezeltje prik gaan spelen.....
       

       
Jij moet de klokvorm hiernaast ergens op die getallenlijn in die  mist neerleggen, waarbij de enige voorwaarde is dat onze meting van 23 kg een betrouwbare meting moet zijn.
Bijvoorbeeld zó:

       
Het werkelijke gemiddelde lijkt nu iets links van 23 te liggen, maar 23 is een betrouwbare meting want ligt in het groene gebied van deze klokvorm..
Of zó:

       
Nu ligt het werkelijke gemiddelde een stuk rechts van 23, maar 23 is nog steeds een betrouwbare meting.
OK,  geen kinderspelletjes neer; laten we direct aangeven wat de uiterste grenzen voor het gemiddelde van de werkelijke klokvorm kunnen zijn:
       

       
Alle gemiddeldes tussen die twee paarse strepen zijn mogelijk als onze meting een betrouwbare meting is.
Dat gebied waarin het werkelijke gemiddelde kan liggen noemen we het 95%-betrouwbaarheidsinterval.
       

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval bij een normale verdeling  is 
[x - 2σ,  x + 2σ] 

       
De standaarddeviatie.

Als je het gemiddelde van een groot aantal (n) metingen neemt dan is de variatie in zo'n gemiddelde veel kleiner dan de variatie in de afzonderlijke metingen. Dat betekent dat de standaardafwijking van zo'n gemiddelde kleiner wordt naarmate je steekproef groter wordt. Je gemeten gemiddelde wordt betrouwbaarder als de steekproef groter is.

Het blijkt dat de standaardafwijking van zo'n gemiddelde gelijk is aan  σ/√n  waarbij σ de gemeten standaarddeviatie van onze steekproef van de afzonderlijke n metingen is.

De regel voor het betrouwbaarheidsinterval moet daarom veranderd worden in:
       

Als een steekproef van n metingen een gemiddelde  x en een standaarddeviatie σ oplevert,
dan is het 95%-betrouwbaarheidsinterval gelijk aan  [x - 2 • σ/√n ,  x + 2 • σ/√n]
       
Voorbeeld
Een antropoloog meet de lengtes van een steekproef van 100 vrouwen uit een zekere populatie en vindt een gemiddelde van 179 cm met een standaarddeviatie van 18 cm.
Wat kan hij concluderen over de hele populatie?

Voor een gemiddelde van 100 vrouwen geldt dan σ = 18/√100 = 1,8
179 + 2 • 1,8 = 182,6  en  179 - 2 • 1,8 = 175,4
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde is dus ongeveer   [175.4,  182.6].
Hij kan concluderen:

"Ik kan met 95% betrouwbaarheid stellen dat het gemiddelde tussen de 175,4 en  182,6  ligt"
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. De reactietijd van 180 gamers is getest en daaruit bleek een gemiddelde van 0,78 sec met een standaardafwijking van  0,15 sec.
Geef het 95%-betrouwbaarheidsinterval dat uit dit onderzoek volgt.
       
2. Na het centraal examen wiskunde levert een steekproef van het CITO onder 88 deelnemers op, dat hun gemiddelde een 6,4 is met een standaardafwijking van  0,7.
Geef in drie decimalen nauwkeurig een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het werkelijk gemiddelde in heel Nederland.
       
3. Een boswachter meet het gewicht van een groot aantal spreeuwen. Hij vindt een gemiddelde gewicht van  80 gram met een standaardafwijking van 16 gram.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de hele spreeuwenpopulatie hangt natuurlijk af van het aantal spreeuwen dat hij gewogen heeft.
Als hij meer spreeuwen heeft gewogen zal het interval smaller worden.
   
  a. Hoeveel keer zo smal is het 95%-betrouwbaarheidsinterval als hij 216 spreeuwen weegt in plaats van  85 spreeuwen?
       
  b. Hoeveel spreeuwen heeft hij gewogen als het 95%-betrouwbaarheidsinterval een breedte van 3 gram heeft?
       
4. Examenopgave Havo, Wiskunde A, 2021-III.

In 2018 hebben 674 leerlingen van een scholengemeenschap een vragenlijst ingevuld. Zij vormden een aselecte en representatieve steekproef uit de gehele leerlingenpopulatie van de school. De school kreeg van deze leerlingen een gemiddelde score van 7,24 op het onderwerp ‘begeleiding’. Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde score van alle leerlingen van de school op het onderwerp ‘begeleiding’ was [7.13  ;  7.35].

Bereken de standaardafwijking die bij deze steekproef hoort op dit onderwerp. Geef je antwoord in drie decimalen.

       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)